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RÉSUMÉ
La morphologie mathématique est rapidement devenue une théorie fondamentale du traitement et de l'analyse d'images. Les opérateurs qu'elle propose permettent de fournir des outils pour toute la chaîne de traitement d'images, des prétraitements à l'interprétation de scènes. Ils permettent de transformer les images, d'en extraire des caractéristiques, des objets ou encore des mesures par une analyse associant propriétés des objets eux-mêmes et propriétés du contexte. Dans cet article, sont présentés les opérateurs de base de la morphologie mathématique, dans les cas d'images binaires et à niveaux de gris. Les fondements mathématiques sont brièvement évoqués. Quelques autres opérations sont ensuite décrites : opérateurs géodésiques et reconstruction, filtres, transformation en tout-ou-rien, amincissement, épaississement et squelette, et pour finir les outils morphologiques principaux de segmentation.
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After its introduction in the 1960s, mathematical morphology rapidly became a fundamental theory of image processing and analysis. It provides tools for the entire image processing chain, from pre-treatment (filtering, contrast enhancement) to segmentation and scene interpretation. One of their main features is their non-linear nature. They can transform images, extract features, objects or measurements (shape, size, appearance ...) through an analysis associating the properties of the objects themselves and the context properties (local neighborhood or relations with other objects). In this article, the basic operators are presented (dilation, erosion, opening, closing), both for binary and grey-level images. A few applications associated with these operators are illustrated. The mathematical background is briefly mentioned, in particular the framework of complete lattices, which defines more general operators. A few other operations, useful in the engineering practice, are then described: geodesic and reconstruction operators, filters, all-or-nothing processes, thinning, thickening and skeleton, and finally the main morphological segmentation tools, focusing on watersheds.
Auteur(s)
-
Isabelle BLOCH : Professeur - Institut Mines-Télécom – Télécom ParisTech – CNRS LTCI – Paris
INTRODUCTION
La morphologie mathématique est rapidement devenue, depuis son introduction dans les années 1960 , une théorie fondamentale du traitement et de l’analyse d’images. Les opérateurs qu’elle propose permettent de fournir des outils pour toute la chaîne de traitement d’images, des prétraitements (filtrage, rehaussement de contraste) à la segmentation et à l’interprétation de scènes. Une des caractéristiques importantes de ces opérateurs est qu’ils sont non linéaires. Ils permettent de transformer les images, d’en extraire des caractéristiques, des objets ou encore des mesures par une analyse associant propriétés des objets eux-mêmes (forme, taille, apparence…) et propriétés du contexte (voisinage local ou relations avec d’autres objets).
Pour décrire de manière très synthétique la « boîte à outils » de la morphologie mathématique, il faut retenir les points suivants :
-
les transformations sont non linéaires, elles sont fondées sur des opérations de type sup et inf ;
-
les transformations sont généralement non inversibles, et elles perdent donc de l’information ; le travail du morphologue consiste alors à déterminer les transformations adaptées à son problème, c’est-à-dire qui vont « simplifier » les images en retenant l’information pertinente ;
-
des propriétés analytiques et algébriques sont attachées aux opérations, ce qui permet d’assurer des propriétés précises sur les objets ou images issues des transformations ; c’est sur ces propriétés que l’on s’appuie pour enchaîner les transformations afin de résoudre un problème particulier ;
-
des algorithmes sont également associés aux transformations, permettant leur application de manière efficace.
Dans la suite, nous ferons de rapides rappels historiques, puis introduirons les quatre opérations de base de la morphologie mathématique (dilatation, érosion, ouverture, fermeture), dans les cas d’images binaires et d’images à niveaux de gris. Quelques applications immédiates de ces opérations seront illustrées. Nous reviendrons par la suite sur les fondements mathématiques qui sous-tendent ces définitions, en particulier sur le cadre algébrique des treillis complets, qui est fédérateur et permet de définir des opérations plus générales. Nous étudierons ensuite quelques autres opérations utiles en pratique : opérateurs géodésiques et reconstruction, filtres, transformation en tout-ou-rien, amincissement, épaississement et squelette. Puis nous décrirons les outils morphologiques principaux de segmentation, avec en particulier la ligne de partage des eaux. En guise de conclusion, nous citerons quelques avancées récentes de la morphologie mathématique. Cet article s’appuie en partie sur un cours publié dans .
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MOTS-CLÉS
morphologie mathématique treillis complet dilatation érosion ouverture fermeture opérateurs géodésiques reconstruction squelette segmentation filtres morphologiques ligne de partage des eaux
KEYWORDS
mathematical morphology | complete lattices | dilatation | erosion | opening | closing | geodesic operators | reconstruction | skeleton | segmentation | morphological filters | watersheds
DOI (Digital Object Identifier)
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Opérations géodésiques et reconstruction
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3. Formalismes mathématiques
La théorie des ensembles et des fonctions, directement utilisée dans la section précédente, constitue un premier cadre formel pour la morphologie mathématique. Le cadre le plus général, pour les opérations déterministes croissantes, est le cadre algébrique des treillis complets. Un treillis est un ensemble
muni d’une relation d’ordre partiel
, tel que toute paire d’éléments (ou toute famille finie) possède une borne supérieure (notée
) et une borne inférieure (notée
). Un treillis est complet si toute famille d’éléments (finie ou non) possède un plus petit majorant et un plus grand minorant. Un treillis complet contient en particulier un plus petit élément et un plus grand élément. Par exemple, l’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la relation d’inclusion, est un treillis complet. De même les fonctions forment un treillis complet. Il en existe beaucoup d’autres exemples (treillis des partitions d’un ensemble, d’ensembles flous, de formules logiques, de graphes, etc.).
Une dilatation algébrique est définie comme un opérateur dans un treillis complet
qui commute avec le supremum, c’est-à-dire tel que :
( 10 )
où (xi ) est une famille (éventuellement vide) d’éléments de
.
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