Modèle collectif
Mathématiques de l’assurance - Principes de base

L’importance économique de l’assurance ne cesse de croître dans les pays développés. Les assureurs proposent régulièrement à leurs clients de nouveaux types de contrats permettant de couvrir de nouveaux risques ou d’améliorer la couverture de risques déjà connus. Cela suppose une ingénierie assurantielle constamment mise à jour et susceptible de prendre en compte les différentes facettes de cette activité qui fait appel à plusieurs disciplines ou techniques, telles que les mathématiques, la statistique, le droit, l’économie, la comptabilité… Dans cet article traitant des mathématiques de l’assurance, on s’intéressera à des aspects quantitatifs qui sont traditionnellement pris en charge par les actuaires, ingénieurs spécialisés dans les techniques assurantielles et financières. L’étendue du sujet, dont on peut se convaincre par le nombre de publications et de références sur le Web, impose de se limiter à quelques thèmes importants.

Toute opération d’assurance commence par la signature d’un contrat entre un assureur et un assuré. Ce contrat prévoit un paiement immédiat et certain, la prime d’assurance, en échange d’un paiement futur et aléatoire qui sera concrétisé par des indemnités versées à l’assuré en compensation des sinistres survenus pendant la période de validité du contrat.

Il y a donc transfert de risque de l’assuré à l’assureur. La viabilité de cette opération n’est possible que par la mutualisation de nombreux risques au sein de l’entreprise d’assurance, ce qui permet une certaine compensation statistique, sans toutefois éliminer complètement les fluctuations du montant total des sinistres, objet des paiements futurs. Il en résulte que le risque supporté par l’assureur nécessite d’abord l’évaluation de la prime qui doit être suffisante pour faire face au coût moyen des sinistres, ainsi qu’aux fluctuations possibles de ce coût. Ces fluctuations, si elles sont d’amplitude exceptionnelles et défavorables, peuvent avoir un impact sur l’équilibre des comptes annuels de l’assureur, voire mettre en danger sa solvabilité. C’est pourquoi, ce dernier ne se contente pas d’évaluer la prime mais s’efforce également d’estimer la loi de probabilité du montant cumulé des sinistres dont la prime, malgré son importance, n’est qu’un indicateur parmi d’autres.

Dans cet article on examinera le problème de l’évaluation de la prime, qui est basée non seulement sur l’analyse de la sinistralité passée, mais aussi sur les principes théoriques de calcul de prime que l’assureur est susceptible de choisir en fonction de critères qui lui sont propres, notamment de son attitude face au risque. Concernant la loi de probabilité du montant cumulé des sinistres, étant donné la taille importante des portefeuilles de risques gérés par les entreprises d’assurances, les méthodes élémentaires d’évaluation, basées sur les convolutions, sont d’un emploi limité. L’actuaire doit alors se tourner vers des méthodes d’approximation ou des algorithmes spécifiques plus performants, tels que la méthode récursive de Panjer ou la transformation de Fourier rapide. La méthode de Monte-Carlo, basée sur la génération d’échantillons aléatoires sur ordinateur, est aussi largement utilisée dans le milieu professionnel.

Dans la dernière partie, on revient sur la notion de prime qui peut présenter deux modalités : la prime a priori et la prime a posteriori. Comme son nom l’indique, la prime a priori est payée par l’assuré à la signature du contrat et est déterminée à partir des caractéristiques du risque assuré. En assurance automobile, l’assureur se basera par exemple sur la puissance du véhicule, la zone d’utilisation, l’ancienneté du permis du conducteur… En assurance habitation, ce sera la superficie et la situation des locaux assurés… La prime a posteriori, quant à elle, va dépendre de la sinistralité observée et est donc susceptible de varier d’une année à l’autre et d’un risque à l’autre à l’intérieur du même groupe de risques. L’exemple le plus connu est celui de l’assurance responsabilité civile pour le conducteur d’un véhicule à moteur. Plusieurs modèles rendent possibles l’évaluation de ce type de prime. On se limitera ici à un exemple simple basé sur une approche bayésienne.

En fin d’article, on trouvera des références bibliographiques et des liens vers des sites ou documents numériques qui devraient permettre au lecteur intéressé d’approfondir certains des thèmes présentés.