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RÉSUMÉ
Cet article sur la transformée de Fourier est composé de deux paragraphes traitant de deux aspects bien distincts. Le premier présente les expressions de la transformée de Fourier dans le cas du traitement numérique des signaux échantillonnés. Quelques utilisations et extensions de la transformée directe sont alors proposées. Le second paragraphe traite du cas des signaux bidimensionnels et de leur représentation en fréquences. Ces signaux servent de base dans différents domaines tels que la compression et le filtrage d’images, le prétraitements pour la reconnaissance de formes, etc. Le cas de la transformée de Fourier 2D vient en complément : interprétation et propriétés sont communiquées.
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Joël LE ROUX : École polytechnique universitaire (EPU) Université de Nice Sophia-Antipolis
INTRODUCTION
Cette deuxième partie de la présentation de la transformée de Fourier comporte deux paragraphes distincts et sans rapport direct. Elle se base sur les développements donnés dans la première partie en .
Nous verrons dans le premier paragraphe les expressions de la transformée de Fourier dans le cas du traitement numérique des signaux échantillonnés (la transformée de Fourier discrète), en décrivant plus particulièrement l’algorithme de transformée de Fourier rapide et en notant quelques considérations pratiques qu’on ne doit pas négliger lors de la mise en œuvre et l’utilisation de la transformée de Fourier discrète. Nous y mentionnerons des applications importantes comme la compression MP3 des signaux musicaux ou la modulation OFDM utilisée, par exemple, en télédiffusion numérique. Nous y donnerons également les résultats principaux concernant l’analyse spectrale des signaux aléatoires, principalement les notions de fonction d’autocorrélation et de densité spectrale.
Dans un deuxième paragraphe, nous aborderons le cas des signaux bidimensionnels (le plus souvent des images) et leur représentation en fréquences qui serviront de base dans différents domaines d’application : compression d’images, filtrage d’images, prétraitements pour la reconnaissance de formes, en mentionnant plus particulièrement les propriétés importantes de la transformée de Radon très utilisée en imagerie médicale.
La mise en œuvre et des exemples d’application seront vus dans une troisième partie .
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Transformée de Fourier discrète
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2. Transformée de Fourier des signaux bidimensionnels et des images
Les méthodes présentées dans ce paragraphe et dans le dossier suivant portent essentiellement sur les aspects des problèmes de traitement des signaux multidimensionnels et des images où l’interprétation fréquentielle est importante : filtrage et prétraitement des images préalable à leur interprétation, problèmes de propagation d’ondes, etc., par opposition aux problèmes de reconnaissance et d’interprétation d’images. Elles sont, pour la plupart, des extensions des techniques monodimensionnelles comme l’analyse de Fourier et le filtrage linéaire des signaux temporels traités dans .
Nous commençons ici la présentation par l’expression, dans le cas bidimensionnel, de la transformée de Fourier et quelques-unes de ses propriétés. Ensuite, dans le dossier nous reprendrons la formulation de l’échantillonnage en insistant sur quelques phénomènes spécifiques aux signaux bidimensionnels. Puis nous verrons l’extension de la transformée en z. Ce paragraphe donne aussi les formules de la transformée de Fourier discrète, ainsi que quelques résultats importants : transformée de Fourier rapide, transformée en cosinus, les résultats principaux concernant le filtrage des signaux bidimensionnels et l’analyse des signaux aléatoires bidimensionnels. Quelques applications pour lesquelles les méthodes fondées sur la transformée de Fourier sont des outils fondamentaux (propagation d’ondes, tomographie et imagerie par résonance magnétique, interférométrie, détection de contours) seront décrites par la suite.
2.1 Représentation fréquentielle des signaux bidimensionnels continus. Transformée de Fourier 2D
Avant d’envisager l’échantillonnage et le traitement numérique des signaux, il est nécessaire de donner l’interprétation des signaux bidimensionnels dans le domaine des fréquences. La représentation fréquentielle des signaux à deux dimensions (2D) est l’extension directe de celle des signaux monodimensionnels. La transformée de Fourier F (u, v ) d’un signal f (x, y ) est :
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