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Auteur(s)
-
Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, - d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse (ENSEEIHT)
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Lire l’articleINTRODUCTION
Pour résoudre numériquement une EDP, on utilise très souvent dans l’industrie la méthode des éléments finis. Cette méthode nécessite une transformation du problème à résoudre en un problème équivalent. Cette phase correspond à la mise sous forme variationnelle du problème d’EDP. Dans cette dernière formulation, le problème est posé dans un espace de dimension infinie. La méthode des éléments finis consiste à poser un problème analogue en dimension finie, à partir d’une « triangulation » du domaine Ω où est définie l’EDP, ce qui nécessite la définition de fonctions de base dont le choix est tel que la matrice de discrétisation est la plus creuse possible (cf. les articles et
Dans cet article, on montre comment construire les fonctions de base associées à une « triangulation » quelconque du domaine considéré. On commence par donner les expressions des fonctions de base associées à des triangles quelconques et à des carrés puis on montre l’invariance de ces fonctions lorsqu’on utilise une transformation affine, ce qui permet de déterminer aisément la matrice de discrétisation du problème. Pour terminer, on donne quelques résultats sur la majoration d’erreur, ainsi que des indications concernant l’utilisation de formules de quadratures numériques lors de la mise en œuvre de la méthode des éléments finis.
Cet article est le troisième et dernier volet de l’ensemble de trois articles traitant de la méthode des éléments finis :
-
[AF 503] Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis ;
-
[AF 504] Introduction à la méthode des éléments finis ;
-
[AF 505] Présentation générale de la méthode des éléments finis.
Pour des compléments sur cette notion générale d’éléments finis, le lecteur pourra consulter en bibliographie les références [5] à [18].
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2. Élément de référence. Notion d’élément fini courbe
Tous les éléments introduits dans les paragraphes précédents avaient des formes géométriques simples, par exemple, en dimension deux, des triangles ou des carrés ; en pratique on est amené à utiliser des éléments de forme plus élaborée, en particulier des triangles ou quadrilatères quelconques ou à côtés courbes pour approcher au mieux la frontière
, lorsque le domaine
n’est pas polyédrique.
Le but de ce paragraphe est de montrer comment, en utilisant certaines transformations, on peut obtenir des éléments ayant une géométrie plus compliquée. D’autre part, ces transformations permettent de calculer de façon simple les intégrales non plus sur l’élément courant K, mais sur un élément de référence
; en effet, il est judicieux de calculer les intégrales une seule fois sur l’élément de référence invariable
et de passer de ce dernier à l’élément courant K par une transformation
affine ou non du type
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - CIARLET (P.G.) - Numerical analysis of the finite element method. - Les presses de l’Université de Montréal (1976).
-
(2) - CIARLET (P.G.) - The finite element method for elliptic problems. - North-Holland (1978).
-
(3) - THEODOR (R.) - Initiation à l’analyse numérique. - Masson (1986).
-
(4) - DHATT (G.), TOUZOT (G.) - Une présentation de la méthode des éléments finis. - Collection Université de Compiègne (1984).
-
(5) - CUVELIER (C.), DESCLOUX (J.), RAPPAZ (J.) - Éléments d’équations aux dérivées partielles pour ingénieurs. - Tomes 1 et 2, Presses Polytechniques Romandes (1988).
-
(6) - EUVRARD (D.) - Résolution numérique des équations aux dérivées partielles de la physique, de la mécanique...
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