Annexe 1 — Rappel des relations monodimensionnelles fondamentales
Turbomachines : calcul des écoulements compressibles

Cette synthèse concerne les méthodes permettant une simulation numérique du comportement des écoulements qui traversent une turbomachine (parties fixes et mobiles des compresseurs et turbines axiales et centrifuges). Seul l’aspect aérodynamique sera étudié à l’exclusion de tout phénomène réactif. Il convient également de préciser que :

• seuls les fluides compressibles monophasiques (gaz) sont ici considérés ;

• les applications envisagées font intervenir la compressibilité du fluide excluant ainsi les régimes à basse vitesse ;

• les méthodes de calcul appropriées, les plus avancées, sont surtout développées dans le domaine aéronautique.

L’écoulement dans une turbomachine est caractérisé par quatre aspects essentiels qui sont : la tridimensionnalité, la viscosité, l’instationnarité (même en régime stationnaire) et les transferts thermiques.

Si les deux premiers apparaissent naturellement, le troisième est à prendre en compte dès que l’on s’intéresse au défilement d’une ou de plusieurs roues mobiles par rapport à une ou plusieurs roues fixes, configurations plus courantes que celle qui consiste à étudier une roue mobile isolée. L’instationnarité peut également être due à des problèmes de distorsion ou d’hétérogénéités intrinsèques. En outre, tous les régimes transitoires sont également source d’effets instationnaires.

La prise en compte des transferts thermiques est indispensable pour déterminer les caractéristiques mécaniques des divers éléments fixes ou mobiles, compresseurs, turbines, disques, carters, et par conséquent leur durée de vie, mais aussi pour prévoir leur encombrement géométrique et maîtriser les divers jeux. Deux domaines particuliers d’application de l’aérothermique sont spécifiques aux turbomachines. Tout d’abord, il s’agit de l’écoulement dit interne qui concerne les cavités interdisques, ainsi que les canaux de refroidissement à l’intérieur des aubages de turbines fixes et mobiles. Les géométries réelles sont complexes avec des discontinuités volontaires afin d’améliorer les échanges convectifs. Enfin, le calcul de l’écoulement dit externe autour des aubages doit prendre en compte la présence des débits de refroidissement qui sortent de l’aubage soit par des fentes, surtout au bord de fuite, soit par des multiperforations. Il en est de même sur les carters internes et/ou externes. La complexité de l’écoulement est ainsi accrue et ces effets doivent être pris en compte dans le calcul aérodynamique général.

Il est clair qu’il sera impossible avant longtemps de prendre rigoureusement en compte tous ces aspects simultanément dans le calcul d’une machine complète, en particulier pour deux raisons essentielles :

• la première est liée à la capacité de la mémoire et aux temps de calcul nécessaires, qui sont incompatibles, dans le cadre d’une utilisation fréquente, avec les ordinateurs les plus performants actuellement sur le marché ;

• la seconde, plus cruciale, résulte du constat que tous les schémas de turbulence actuellement proposés, et qui sont indispensables à la résolution des équations de Navier-Stokes en régime turbulent, ne rendent pas compte avec une précision suffisante de la réalité physique, même pour des applications relativement simples.

Cela étant, il est nécessaire de poursuivre les recherches dans le domaine afin d’accroître l’efficacité des codes de calcul, notamment par la mise au point de schémas qui permettent une meilleure prise en compte des phénomènes physiques, associés si possible à une réduction sensible des temps d’occupation des ordinateurs.

Face aux problèmes soulevés par la détermination de ces écoulements tridimensionnels, visqueux et instationnaires, de nombreuses approches ont été entreprises ; elles font appel à des modélisations et à des simplifications variées qui sont développées ci-après.

Bien que les hypothèses simplificatrices ne soient pas toujours indépendantes, elles vont être analysées séparément pour les différents aspects évoqués ci-dessus.

L’approche la plus simplifiée correspond à la théorie monodimensionnelle fondée sur le théorème d’Euler. Rappelée en Annexe 1, elle porte sur les caractéristiques moyennes de l’écoulement : pression, température, rendement, etc. Il s’agit plus précisément des moyennes azimutales et radiales qui sont considérées sur la surface axisymétrique moyenne entre le moyeu et le carter. Cette approche est amplement développée dans le chapitre Théorie générale des turbomachines [B 4 400] de ce traité.

Nous nous attacherons dans ce chapitre à développer les deux autres voies restituant l’aspect tridimensionnel :

• la méthode approchée, classique et d’utilisation courante, ou approche quasi 3D 1.1 ;

• le calcul plus précis ou approche 3D complète 1.2, beaucoup plus récent et lié à l’emploi d’ordinateurs de plus en plus performants.

La première partie du développement concernera l’aspect tridimensionnel seul 1, auquel sera ajoutée la prise en compte de la viscosité et des transferts thermiques par la résolution des équations de Navier-Stokes 2, puis l’instationnarité 3.

Le tableau suivant regroupe et définit toutes les notations et tous les symboles utilisés dans les formules de ce chapitre.