Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article décrit deux nouveaux records établis fin 2019 : un record de factorisation d’entier avec la factorisation du nombre RSA-240, et un record de calcul de logarithme discret de même taille. Ces deux records correspondent à des nombres de 795 bits, soit 240 chiffres décimaux, et ont été établis avec le même logiciel libre (CADO-NFS), sur le même type de processeurs. Ces records servent de référence pour les recommandations en termes de taille de clé pour les protocoles cryptographiques.
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This article describes two new records established at the end of 2019: an integer factorization record for the factorization of RSA-240, and a discrete logarithm record of the same size. These two records correspond to 795-bit numbers, or 240 decimal digits, and were established with the same open-source CADO-NFS software, on the same type of processors. These records serve as a reference for key size recommendations for cryptographic protocols.
Auteur(s)
-
Fabrice BOUDOT : Professeur de l’Éducation nationale - Université de Limoges, XLIM, UMR 7252, Limoges, France
-
Pierrick GAUDRY : Directeur de recherche CNRS - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
-
Aurore GUILLEVIC : Chargée de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
-
Nadia HENINGER : Associate Professor - University of California, San Diego, États-Unis
-
Emmanuel THOMÉ : Directeur de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
-
Paul ZIMMERMANN : Directeur de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
INTRODUCTION
La cryptographie à clé publique a connu un essor notable depuis son introduction en 1976-1977. Elle repose sur des fonctions mathématiques qui se calculent rapidement dans un sens mais dont l’inverse est extrêmement difficile à calculer. La multiplication de deux grands entiers premiers est simple sur un ordinateur, mais factoriser un tel produit est bien plus difficile et fait l’objet d’une compétition internationale. Cet article présente l’état de l’art pour le chiffrement RSA (Rivest-Shamir-Adleman) basé sur la difficulté de la factorisation de très grands entiers, et pour le chiffrement Diffie-Hellman basé sur la difficulté d’inverser une exponentiation dans certains groupes mathématiques. En 2019 le record de factorisation d’un produit de 240 chiffres décimaux a été obtenu en près de mille années-cœurs sur plusieurs grappes de calcul. L’intérêt de ces records est d’extrapoler les tailles de clés cryptographiques pour différents besoins de chiffrement et durées de protection.
Points clés
Domaine : Cryptographie, informatique, mathématiques
Technologies impliquées : algorithmique, calcul haute performance
Domaines d'application : informatique
Principaux acteurs français :
– recherche : Inria, CNRS (INS2I), plusieurs universités
– gouvernemental : ANSSI
– industriels : plusieurs
L'expertise technique et scientifique de référence
MOTS-CLÉS
factorisation d’entier logarithme discret cryptographie à clé publique crible algébrique CADO-NFS
KEYWORDS
integer factorization | discrete logarithm | public-key cryptography | Number Field Sieve | CADO-NFS
VERSIONS
- Version archivée 1 de févr. 2011 par Pierrick GAUDRY, Emmanuel THOMÉ, Paul ZIMMERMANN
DOI (Digital Object Identifier)
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Présentation
Calcul d’un logarithme discret sur 240 chiffres
En anglais
2. Factorisation de RSA-240
Les étapes principales du crible algébrique peuvent être divisées comme suit. La proximité entre le crible algébrique pour factoriser un entier n, et le crible algébrique pour calculer des logarithmes discrets dans
est telle que cette liste est pertinente dans les deux situations :
-
l’étape de sélection polynomiale. Il est question de choisir une paire de polynômes irréductibles à coefficients entiers, notés
![]()
et
![]()
, qui sont bien adaptés au problème à résoudre. À partir de f 0 et f 1, un contexte mathématique propice peut être installé. Toutes les paires de polynômes ne se valent pas, certaines permettent un meilleur rendement que d’autres dans la suite des calculs ; -
l’étape de collecte des relations. Il s’agit ici d’explorer un espace gigantesque de paramètres, indexés par deux entiers a et b, pour lesquels on espère que deux événements plutôt rares interviennent simultanément. On souhaite que les deux entiers Res(a − bx, f 0) et Res(a − bx, f 1) soient simultanément friables, c’est-à-dire que leur plus grand facteur premier soit plus petit qu’une borne fixée à l’avance. Lorsque c’est le cas, on obtient une relation. (Ici comme ailleurs dans l’article, Res( ) désigne le résultant de deux polynômes ; c’est un entier) ;
-
l’étape d’algèbre linéaire. Un système linéaire, construit à partir des relations collectées, doit être résolu. Pour la factorisation d’entier, ce système est défini sur
![]()
. Pour le logarithme discret dans
![]()
...
et
, qui sont bien adaptés au problème à résoudre. À partir de f 0 et f 1, un contexte mathématique propice peut être installé. Toutes les paires de polynômes ne se valent pas, certaines permettent un meilleur rendement que d’autres dans la suite des calculs ;
. Pour le logarithme discret dans
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Factorisation de RSA-240
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AGENCE NATIONALE DE LA SÉCURITÉ DES SYSTÈMES D’INFORMATION - Référentiel général de sécurité, v2.03, Annexe B1. - Téléchargeable via https://www.ssi.gouv.fr/uploads/2014/11/RGS_v-2-0_B1.pdf (2014).
-
(2) - KLEINJUNG (T.) et al - Factorization of a 768-Bit RSA Modulus. - In : CRYPTO 2010. Sous la dir. de Tal Rabin. LNCS 6223. Springer, Heidelberg, p. 333-350. doi :10.1007/978-3-642-14623-7_18 (2010).
-
(3) - KLEINJUNG (T.) et al - Computation of a 768-Bit Prime Field Discrete Logarithm. In : EUROCRYPT 2017, Part I. - Sous la dir. de Jean-Sébastien Coron et Jesper Buus Nielsen. LNCS 10210. Springer, Heidelberg, p. 185-201. doi :10.1007/978-3-319-56620-7_7 (2017).
-
(4) - BOUDOT (F.) et al - Comparing the difficulty of factorization and discrete logarithm : a 240-digit experiment. In : Proceedings of Advances in Cryptology (CRYPTO). - Sous la dir. de D. Micciancio et T. Ristenpart. LNCS 12171. p. 62-91 (2020).
-
...
ANNEXES
Computations of discrete logarithms, Laurent Grémy :
Wikipedia Integer factorization records :
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization_records
Wikipedia RSA numbers :
https://en.wikipedia.org/wiki/RSA_numbers
(pages consultées le 4 août 2020)
Glossaire de l’ANSSI :
https://www.ssi.gouv.fr/particulier/glossaire/
(page consultée le 16 septembre 2020)
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