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RÉSUMÉ
Cet article décrit deux nouveaux records établis fin 2019 : un record de factorisation d’entier avec la factorisation du nombre RSA-240, et un record de calcul de logarithme discret de même taille. Ces deux records correspondent à des nombres de 795 bits, soit 240 chiffres décimaux, et ont été établis avec le même logiciel libre (CADO-NFS), sur le même type de processeurs. Ces records servent de référence pour les recommandations en termes de taille de clé pour les protocoles cryptographiques.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Fabrice BOUDOT : Professeur de l’Éducation nationale - Université de Limoges, XLIM, UMR 7252, Limoges, France
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Pierrick GAUDRY : Directeur de recherche CNRS - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
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Aurore GUILLEVIC : Chargée de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
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Nadia HENINGER : Associate Professor - University of California, San Diego, États-Unis
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Emmanuel THOMÉ : Directeur de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
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Paul ZIMMERMANN : Directeur de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
INTRODUCTION
La cryptographie à clé publique a connu un essor notable depuis son introduction en 1976-1977. Elle repose sur des fonctions mathématiques qui se calculent rapidement dans un sens mais dont l’inverse est extrêmement difficile à calculer. La multiplication de deux grands entiers premiers est simple sur un ordinateur, mais factoriser un tel produit est bien plus difficile et fait l’objet d’une compétition internationale. Cet article présente l’état de l’art pour le chiffrement RSA (Rivest-Shamir-Adleman) basé sur la difficulté de la factorisation de très grands entiers, et pour le chiffrement Diffie-Hellman basé sur la difficulté d’inverser une exponentiation dans certains groupes mathématiques. En 2019 le record de factorisation d’un produit de 240 chiffres décimaux a été obtenu en près de mille années-cœurs sur plusieurs grappes de calcul. L’intérêt de ces records est d’extrapoler les tailles de clés cryptographiques pour différents besoins de chiffrement et durées de protection.
Points clés
Domaine : Cryptographie, informatique, mathématiques
Technologies impliquées : algorithmique, calcul haute performance
Domaines d'application : informatique
Principaux acteurs français :
– recherche : Inria, CNRS (INS2I), plusieurs universités
– gouvernemental : ANSSI
– industriels : plusieurs
L'expertise technique et scientifique de référence
MOTS-CLÉS
factorisation d’entier logarithme discret cryptographie à clé publique crible algébrique CADO-NFS
VERSIONS
- Version archivée 1 de févr. 2011 par Pierrick GAUDRY, Emmanuel THOMÉ, Paul ZIMMERMANN
DOI (Digital Object Identifier)
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4. Conclusion
Les algorithmes RSA et Diffie-Hellman sont au cœur des protocoles modernes de communication. D’après le ICSI Certificate Notary ( https://notary.icsi.berkeley.edu/), 90 % des certificats mis en œuvre pour des échanges chiffrés sur Internet en juillet 2020 ont utilisé des clés RSA, et l’échange de clé Diffie-Hellman est requis pour SSH (secure shell), pour TLS 1.3 (la dernière version du protocole SSL/TLS permettant de chiffrer les échanges par mail ou sur Internet), et pour IPsec (pour les réseaux virtuels privés).
Établir de nouveaux records de factorisation et de calcul de logarithme discret est le meilleur moyen d’encourager les utilisateurs de ces protocoles à mettre à jour les tailles de clé en faveur de valeurs plus sûres. Alors que les recommandations officielles sont depuis 2010 d’au moins 2 048 bits pour les clés RSA et Diffie-Hellman, de nombreux sites utilisent encore des clés plus petites : le SSL Pulse de Qualys indique qu’en juillet 2020, 9 % des sites web couramment visités prennent en charge des clés Diffie-Hellman de 1 024 bits, et environ 1 % des clés de 512 ou 768 bits.
Les records que nous avons établis constituent un pas décisif vers la factorisation d’une clé de 1 024 bits dans un futur proche. Grâce aux améliorations logicielles que nous avons effectuées, et à notre procédé algorithmique d’estimation de temps de calcul, nous pouvons affirmer qu’aucune barrière technologique ne s’oppose plus à un record de 1 024 bits. La principale difficulté réside dans l’accès à suffisamment de ressources de calcul. Un rapide calcul montre que la factorisation de RSA-896 (896 bits) nécessitera entre 6 et 7 fois plus de temps de calcul que celle de RSA-250 (829 bits). Ensuite, la factorisation de RSA-1024 (1 024 bits) demandera environ 30 fois plus de temps de calcul que RSA-896, soit de l’ordre de 500 000 années-cœurs.
Cette quantité de ressources est actuellement inaccessible pour nous. Cependant, la combinaison de plusieurs facteurs (des améliorations algorithmiques, de plus grandes capacités de calcul via la loi de Moore, et des partenariats avec des organismes ayant accès à de gros moyens de calcul) devrait permettre la factorisation de RSA-1024 d’ici quelques années.
En 1994, Peter Shor a inventé un algorithme permettant de factoriser un entier plus rapidement sur un ordinateur quantique. Pour factoriser un entier...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AGENCE NATIONALE DE LA SÉCURITÉ DES SYSTÈMES D’INFORMATION - Référentiel général de sécurité, v2.03, Annexe B1. - Téléchargeable via https://www.ssi.gouv.fr/uploads/2014/11/RGS_v-2-0_B1.pdf (2014).
-
(2) - KLEINJUNG (T.) et al - Factorization of a 768-Bit RSA Modulus. - In : CRYPTO 2010. Sous la dir. de Tal Rabin. LNCS 6223. Springer, Heidelberg, p. 333-350. doi :10.1007/978-3-642-14623-7_18 (2010).
-
(3) - KLEINJUNG (T.) et al - Computation of a 768-Bit Prime Field Discrete Logarithm. In : EUROCRYPT 2017, Part I. - Sous la dir. de Jean-Sébastien Coron et Jesper Buus Nielsen. LNCS 10210. Springer, Heidelberg, p. 185-201. doi :10.1007/978-3-319-56620-7_7 (2017).
-
(4) - BOUDOT (F.) et al - Comparing the difficulty of factorization and discrete logarithm : a 240-digit experiment. In : Proceedings of Advances in Cryptology (CRYPTO). - Sous la dir. de D. Micciancio et T. Ristenpart. LNCS 12171. p. 62-91 (2020).
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...
ANNEXES
Computations of discrete logarithms, Laurent Grémy :
Wikipedia Integer factorization records :
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization_records
Wikipedia RSA numbers :
https://en.wikipedia.org/wiki/RSA_numbers
(pages consultées le 4 août 2020)
Glossaire de l’ANSSI :
https://www.ssi.gouv.fr/particulier/glossaire/
(page consultée le 16 septembre 2020)
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