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Jean PIRANDA : Professeur à l’Université de Franche-Comté, Laboratoire de Mécanique Appliquée R. Chaléat
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Les méthodes d’analyse modale sont des méthodes d’investigation relativement récentes, qui ont été mises en œuvre pour établir et (ou) améliorer la connaissance du modèle dynamique des structures réelles. En effet, les para-mètres significatifs permettant de représenter le comportement dynamique d’une structure linéaire quelle que soit sa complexité sont « concentrés » dans un nombre de paramètres modaux réduits : fréquences propres, amortissements et formes propres associés. Le comportement dynamique de la structure sous des conditions d’excitation particulières en l’absence de toute modélisation ne requiert que la seule connaissance de ces paramètres. C’est la raison pour laquelle l’analyse modale expérimentale est devenue grâce aux progrès de l’informatique et de l’instrumentation, une méthode privilégiée d’investigation dans le domaine de la dynamique des structures .
Les premiers instigateurs de cette technique ont été les avionneurs qui étaient confrontés au problème crucial de « flottement » des avions. Ce phénomène dû au couplage aéroélastique entre l’air et la structure de l’avion provoque à certaines vitesses un phénomène de vibrations autoexcitées pouvant causer la destruction de l’appareil. Il peut être prévu si l’on connaît les caractéristiques dynamiques de la structure, à savoir : vecteurs propres, fréquences propres et amortissements généralisés, masses généralisées (masses modales).
Les premières méthodes développées dans les années 1950-60 ont été les méthodes d’appropriation modale qui consistaient à appliquer à la structure un ensemble de forces excitatrices harmoniques convenablement réparties en amplitude et en phase, donnant une réponse de la structure proportionnelle à un mode propre du système conservatif associé.
Ces méthodes, toujours utilisées, ont l’avantage d’être très fiables, car l’expérimentateur « voit » le mode identifié, la qualité de l’appropriation pouvant être qualifiée grâce au critère de phase. Cependant, elles sont très lourdes à mettre en œuvre et nécessitent des investissements importants.
La recherche constante de l’amélioration de la qualité dans tous les domaines où intervient la mécanique a conduit les concepteurs à utiliser l’analyse modale expérimentale comme un outil privilégié pour accéder à une meilleure connaissance du comportement dynamique des structures. C’est pourquoi ces tech-niques ont largement dépassé le cadre de l’aéronautique pour s’intéresser aux structures dans le domaine du transport (véhicules automobiles, ferroviaires, bateaux...), aux ouvrages de génie civil (ponts, tours aéroréfrigérantes, massifs de groupe...) et plus généralement à tous les matériels susceptibles d’être soumis à une ambiance vibratoire sévère. Toute une méthodologie s’est ainsi développée en aval de l’analyse modale concernant par exemple la sous-structuration dyna-mique ou le recalage des modèles de calcul par éléments finis par rapport à la structure réelle.
Du point de vue théorique, les méthodes d’analyse modale sont basées sur une représentation du comportement dynamique des structures par des systèmes discrets, l’hypothèse la plus couramment adoptée pour représenter les dissipations étant celle d’un amortissement visqueux. Il est par conséquent fondamental de bien maîtriser les notions se rattachant à la dynamique des systèmes discrets, en particulier celles concernant les modes propres complexes des systèmes dissipatifs et leurs liens avec ceux du système conservatif associé.
Les méthodes d’analyse modale se divisent en deux grandes familles : les méthodes opérant dans le domaine temporel et celles opérant dans le domaine fréquentiel. On donne dans ce document les notions indispensables à la compréhension des systèmes discrets, puis on décrit quelques méthodes de base utilisées en analyse modale expérimentale.
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Propriétés des systèmes à un degré de liberté (ddl)
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9. Annexe 4 : lissage de fonctions de transfert
9.1 Résolution du problème non linéaire d’identification
Soit la fonction à minimiser :
On effectue un développement en série de Taylor au premier ordre :
Si l’on regroupe sous forme matricielle les p équations k = 1, ..., p, on obtient le système linéaire suivant :
Ce système est un système linéaire surdéterminé à inconnues complexes de la forme :
La solution au sens des moindres carrés est obtenue classiquement en minimisant le scalaire
. Elle conduit à :
.
Pratiquement, le calcul est organisé suivant l’organigramme de la figure 27.
Pour l’estimation initiale, on formule le problème de telle sorte que seule celle des sν soit nécessaire. Pour cela, on pointe approximativement les modes sur les fonctions de transfert, et on initialise sν0 à (− ω0/1 000 + jω0). Toutes les autres variables ui, vi, tνi sont initialisées à zéro.
L’expérience montre que 3 à 5 itérations suffisent pour obtenir la convergence.
Lorsque toutes les fonctions de transfert ont été...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - EWINS (D.) - Modal testing : theory and practice - . Éditions Wiley and Sons, 1984.
-
(2) - SWEVERS (J.), HEYLEN (W.) - Time domain identification methods for modal analysis (Stratégies d’identification des structures par l’essai de vibration) - . Journée de la Société Française des Mécaniciens. (SFM), septembre 1993.
-
(3) - IBRAHIM (S.), MIKULCIK (E.) - A method from the direct identification of vibration parameters from the free response - . The Shock and Vibration Bulletin 47/4, p. 183-198, 1977.
-
(4) - MERGEAY (M.) - Least squares complex exponential method and global system parameter estimation used by modal analysis - . Proceedings of ISMA 8 Leuven Belgium, septembre 1983.
-
(5) - GARIBALDI (L.), GUO LIANG LIU - Global M.D.O.F. Curve Fitting with Separated Global Parameter Using Frequency Response Function - . IMAC91.
-
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