Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Les différentes composantes de l’erreur d’estimation rencontrées lorsque l’on cherche à résoudre un problème d’inversion de mesures sont présentées. Quelques approches permettant d’évaluer et de maîtriser ces dernières sont passées en revue. Le cas particulier de l’estimation de fonction, préalablement paramétrisée, est étudié en introduisant et détaillant plusieurs techniques de régularisation permettant d’atteindre un compromis nécessaire entre dispersion et biais de l’estimation. L’étude des erreurs dues aux paramètres supposés connus et la présentation de la philosophie et de l’intérêt des méthodes bayésiennes terminent cet article.
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The different components of the estimation error, that are met when the solution of a problem of inversion of measurements is sought, are presented. A few approaches that allow their assessment and control are reviewed. The specific case of estimation of a function, that has be given a parameterized form, is studied through the introduction and detailed description of several regularization techniques that provide a necessary compromise between dispersion and bias of the estimation. The study of the errors caused by the parameters that are « supposed to be known », and the philosophy and interest of the Bayesian techniques, are found at the end of this article.
Auteur(s)
-
Denis MAILLET : Professeur émérite. Université de Lorraine (UL) - Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) – CNRS et UL
-
Yvon JARNY : Professeur émérite. Université de Nantes - Laboratoire de Thermique et énergie de Nantes (LTeN) – UMR CNRS 6607 Nantes
-
Daniel PETIT : Professeur émérite. École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ISAE-ENSMA) - Institut P’ UPR CNRS 3346 Département Fluides, Thermique, Combustion – Poitiers
INTRODUCTION
Ce dossier est le dernier d’une série de trois, intitulée « Problèmes inverses en diffusion thermique ». On a vu dans les dossiers [BE 8 265] « Modèles diffusifs, mesures, sensibilités » et [BE 8 266] « Formulation et résolution du problème des moindres carrés », que la simple application des méthodes numériques et analytiques d’inversion n’était pas une garantie d’obtention de bons résultats. Afin d’améliorer les résultats, il est nécessaire d’affiner ces méthodes pour analyser et résoudre ce type de problème. C’est ce qui va être entrepris ici, en se focalisant d’abord sur les six composantes de l’erreur d’estimation, puis en passant en revue les « Outils spécifiques de conduction inverse et de régularisation », avant de détailler ces derniers et de mettre en exergue quelques questions importantes que doit se poser, dès le début de sa démarche, l’inverseur de mesures en thermique.
Les symboles et notations de cet article sont repris du tableau 1 de l’article [BE 8 265]. Notons que seule la version pdf de cet article permet une notation complètement pertinente, la version électronique ne permettant pas de bien faire la distinction entre les différentes graisses des symboles.
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MOTS-CLÉS
Erreurs d'estimation Régularisation Décomposition en valeurs singulières Estimation de Bayes
KEYWORDS
estimation errors | regularization | singular value décomposition | bayesian estimation
VERSIONS
- Version archivée 1 de juil. 2011 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
DOI (Digital Object Identifier)
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Méthodes inverses et logiciels du commerce
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2. Principes de quelques méthodes d’inversion de mesures
2.1 Paramétrisation et compromis biais dispersion
2.1.1 Effets de la taille du vecteur paramètre
Nous nous plaçons maintenant dans le cas particulier de l’estimation d’une fonction x (t ) à partir de m mesures rassemblées dans un vecteur y (m représente ici le nombre de données, c’est-à-dire le produit du nombre de capteurs par le nombre de pas de temps d’acquisition). Ce problème est toujours mal posé car une fonction quelconque peut être considérée comme un vecteur ayant un nombre infini de coefficients indépendants, c’est-à-dire un nombre infini de degrés de liberté.
En pratique, on projette cette fonction sur un nombre n de fonctions fj constituant une base de l’espace X dans laquelle on recherche la solution [équation (114) dans [BE 8 265], pour x = u ] : il s’agit du problème de la paramétrisation de la fonction inconnue. Évidemment, remplacer une fonction inconnue par n paramètres va s’accompagner d’une perte de résolution, une fois le vecteur paramètre x estimé. On peut donc, pour un nombre de mesures m donné, étudier l’influence de cette troncature :
-
si le nombre n de coefficients de x est supérieur à m, il n’y a pas unicité de la solution ;
-
si ce nombre n est inférieur ou égal à m, une inversion est théoriquement possible, par exemple par les moindres carrés, mais il n’y a aucune garantie quant à son caractère bien posé : les variances des paramètres estimés peuvent en effet être très grandes, ôtant tout caractère physique à la fonction reconstituée.
Il est manifeste que plus le nombre de paramètres n est élevé (degré...
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Principes de quelques méthodes d’inversion de mesures
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - JARNY (Y.), MAILLET (D.) - Problèmes inverses et estimation de grandeurs en thermique. - Dans Métrologie Thermique et Techniques Inverses, Cours, Éditeur Presses Universitaires de Perpignan, ISBN 2‑908912-95-3, vol. 1, p. 1-50 (2001).
-
(2) - KAIPIO (J.), SOMERSALO (E.) - Statistical and computational inverse problems. - Applied Mathematical Science, Springer Verlag, New York, 339 p. (2005).
-
(3) - Inverse engineering handbook. - Edited by WOODBURY (K.), CRC Press, Boca Raton, 466 p. (2003).
-
(4) - VIDECOQ (E.), PETIT (D.) - Model reduction for the resolution of multidimensional inverse heat conduction problems. - Int. J. Heat and Mass Transfer, vol. 44, p. 1899-1911 (2001).
-
(5) - VIDECOQ (E.), PETIT (D) - Experimental modeling and estimation of time varying heat sources. - International Journal of Thermal Sciences, vol. 43, no 3, mars 2003.
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Librairie de sous-programme SLICOT http://www.slicot.org/
Librairie de la NAG http://www.nag.co.uk/
Librairie Matlab http://www.mathworks.com
Société française de thermique (voir les actes des écoles Metti 5-2011 et Metti 6-2015) http://www.sft.asso.fr
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Congrès français de thermique (annuels) http://www.sft.asso.fr
International Conferences on Inverse Problems in Engineering ICIPE (triennal, dernier congrès) http://icipe17.uwaterloo.ca
Inverse Problems in Design and Optimization IPDO (triennal) dernier congrès http://ipdo2013.congres-scientifique.com
Advanced Metti Schools SFT (dernière école thématique : Metti6-2015) http://www.sft.asso.fr
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