Bibliographie & annexes
Présentation
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RÉSUMÉ
La mise en place du critère à minimiser, qui est à la base de la résolution de tout problème inverse, est introduite. Le cas de l’inversion de mesures à l’aide d’un modèle linéaire est traité. L’étude de son aspect éventuellement « mal-posé », l’estimateur des moindres carrés ordinaires et sa matrice de variance-covariance sont présentés. Les différentes techniques d’inversion de mesures au moyen d’un modèle non linéaire sont ensuite détaillées. Des exemples d’inversion en conduction stationnaire ou non, sont traités, en partant de simulations de mesure intégrant un bruit. L’explosion des estimations, en cas de mauvais conditionnement de la matrice de sensibilité, est mise en évidence.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Denis MAILLET : Professeur émérite, Université de Lorraine (UL) - Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) – CNRS et UL
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Yvon JARNY : Professeur émérite, Université de Nantes - Laboratoire de Thermique et Énergie de Nantes (LTeN) – UMR CNRS 6607 Nantes
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Daniel PETIT : Professeur émérite, École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ISAE-ENSMA) - Institut P’ UPR CNRS 3346 Département Fluides, Thermique, Combustion – Poitiers
INTRODUCTION
Nous avons abordé dans l’article [BE 8 265] le problème de la construction d’un modèle et celui de l’étude des sensibilités qui en découle, c’est-à-dire que nous avons mis en forme le problème direct.
Dans cet article, nous voyons comment on résout un problème inverse en se ramenant à un problème d’optimisation. Pour cela, une fonction objet (appelée également critère), relative à l’écart entre modèle et mesure et dépendant des paramètres inconnus est introduite. L’estimation des paramètres consiste alors à adopter, pour solutions, les valeurs qui minimisent cette fonction. Notons que, dans la pratique, cette minimisation doit rester compatible avec le niveau du bruit de mesure des capteurs utilisés.
On analyse ici la mise en forme mathématique de ce problème de minimisation qui constitue la base de la démarche inverse. Les inversions de mesures proprement dites, prenant en compte les difficultés liées à la mesure réelle (rapport signal/bruit, mauvaises sensibilités…) sont traitées dans l’article [BE 8 267].
Par ailleurs, en s’appuyant sur les propriétés stochastiques du bruit, les écarts-types relatifs des paramètres estimés peuvent également être calculés. Les méthodes sont différentes suivant que le modèle est linéaire ou non par rapport aux paramètres à estimer.
Les symboles et notations de cet article sont donnés dans le tableau 1 de [BE 8 265]. Notons que seule la version pdf de cet article fournit une notation complètement pertinente, la version électronique ne permettant pas de bien faire la distinction entre les différentes graisses des symboles.
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- Version archivée 1 de janv. 2011 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
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Exemples de problèmes inverses mal posés
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3. Inversion de mesures avec un modèle non linéaire
On a vu que, dans le cas du modèle linéaire, la résolution du problème d’optimisation est obtenue simplement par la relation (8) et que le caractère éventuellement mal posé, découle des caractéristiques de la matrice d’information S T S .
Dans le cas d’un modèle non linéaire, une difficulté supplémentaire apparaît sur la façon d’obtenir le minimum qui peut devenir très délicate. Cette minimisation s’effectue de façon itérative et le problème de la convergence vers le minimum se pose.
Dans ce paragraphe, on développe les principes généraux des méthodes dites de « descente » et de leur résolution. On explique le principe des méthodes d’ordre un et d’ordre deux et on évoque les méthodes d’ordre zéro.
Il est également montré comment le calcul des sensibilités peut être utilisé avec profit pour calculer le gradient du critère à minimiser, ainsi que pour obtenir une approximation de la matrice Hessienne.
Enfin, nous terminons ce paragraphe par la présentation d’un algorithme efficace en inversion de mesures : l’algorithme de Levenberg-Marquardt.
On rappelle ici les deux types de problèmes inverses que l’on peut traiter :
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l’estimation peut être relative aux paramètres du modèle
et la boucle itérative porte alors sur le vecteur paramètre β (figure 2) ;
-
l’estimation peut être relative au vecteur des entrées, qui ont été paramétrisées au préalable, ( x = U ) et la boucle itérative porte alors sur ce vecteur U (figure 3).
Ci-dessus : Principe de l’estimation...
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Inversion de mesures avec un modèle non linéaire
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HADAMARD (J.) - Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations. - Yale University Press, New Haven (1923).
-
(2) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tome 1 : Méthodes directes et Tome 2 : Méthodes itératives, Masson, Paris (1987).
-
(3) - BECK (J.V.), ARNOLD (K.V.) - Parameter estimation in engineering and science. - Épuisé, mais copies reliées spirales distribuées directement par BECK (J.V.), Wiley, Chichester, 501 p. (1977) [email protected]
-
(4) - MAILLET (D.), ANDRÉ (S.), BATSALE (J.C.), DEGIOVANNI (A.), MOYNE (C.) - Thermal quadrupoles – Solving the heat equation through integral transforms. - Wiley, Chichester, 370 p. (2000).
-
(5) - PRESS (W.H.), FLANNERY (B.P.), TEULKOLSKY (S.A.), WILLIAM (T.), VETTERLING (W.T.) - Numerical recipes – The art of scientific computing. - Cambridge University Press, New York , 992 p. (1992).
- ...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Société française de thermique (voir les actes des écoles Metti 5-2011 et Metti 6-2015) http://www.sft.asso.fr
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