Optimisation thermodynamique - Équipartition de production d’entropie

Rappelons que le second principe de la thermodynamique stipule que dans tout processus réel, donc irréversible, la production d’entropie nette est positive. Cette quantité, qui s’exprime en joules par kelvin (ou en $W\cdot K^{-1}$ s’il s’agit d’une puissance), est donc une mesure naturelle et générale de l’irréversibilité d’un processus. Lorsque l’on s’intéresse aux irréversibilités liées aux phénomènes purement thermiques, l’entropie est la seule fonction thermodynamique appropriée pour ce faire, car elle est la grandeur extensive « conjuguée » à la grandeur intensive température. Dans certains autres cas, d’autres grandeurs peuvent jouer ce rôle, notamment des grandeurs énergétiques, donc exprimées en J ou en W, comme la dissipation visqueuse dans des écoulements, ou bien la dissipation par effet Joule en électricité, ou encore la chaleur dégagée par une réaction chimique irréversible. Dans tous ces cas, on mesure en fait une quantité de chaleur générée par la dégradation irréversible d’une forme noble d’énergie (mécanique ou électrique ou chimique dans ces exemples). Il est toujours possible, mais pas nécessaire, de se ramener à une entropie en divisant cette énergie thermique générée par une température de référence convenablement choisie. L’exergie est également une grandeur homogène à une énergie, et dont la destruction est une mesure de l’irréversibilité. Nous consacrerons quelques pages à rappeler et clarifier les rapports entre cette grandeur et la production d’entropie.

Nous nous intéressons donc à des procédés et systèmes qui ne sont pas idéaux au sens de la réversibilité. On conçoit intuitivement que les irréversibilités sont « mauvaises » pour les performances, car elles dégradent une forme d’énergie, et on cherche donc toujours, explicitement ou implicitement, à les minimiser. Le problème est que si on ne prend pas certaines précautions, cette minimisation conduit à des dimensionnements de procédés et/ou des conditions opératoires complètement irréalistes et dépourvues de tout intérêt pratique, comme par exemple des dimensions de surfaces de transfert qui deviennent très grandes ou des vitesses de processus extrêmement lentes. Prendre des précautions, cela signifie ici imposer que toutes les grandeurs physiques soient finies, et que les tâches utiles attendues du procédé soient bien effectuées. Cette approche définit ce que l’on appelle aujourd’hui « la thermodynamique en temps fini ou en dimension finie » ou encore à tâche finie (§ 1).

La thermodynamique des processus irréversibles propose un cadre rigoureux, sinon commode, pour exprimer et étudier la production d’entropie, notamment dans sa version linéaire, où les flux (de matière, d’électricité, de quantité de mouvement, d’énergie thermique) sont des fonctions affines des forces motrices (gradients de potentiel chimique, électrique, de vitesse, d’inverse de température). Nous nous placerons la plupart du temps dans ce cadre linéaire pour établir des propriétés structurelles des procédés optimisés, et notamment la propriété d’équipartition.

La minimisation des irréversibilités se fera alors en intégrant ces contraintes de finitude dans les calculs d’optimisation. La méthode des multiplicateurs de Lagrange est particulièrement commode pour cela, bien que des approches plus directes soient parfois possibles. Nous verrons que, en présence de telles contraintes, la minimisation des irréversibilités ne conduit jamais à leur disparition totale, donc à des solutions irréalistes au sens évoqué plus haut, mais que par contre la répartition des irréversibilités dans le procédé joue alors un rôle essentiel. En particulier, la répartition uniforme (selon les variables d’espace et/ou de temps), que nous appelons « équipartition », apparaît dans certaines conditions comme une solution optimale (§ 2.1).

La répartition des irréversibilités dont il est question se conçoit aussi bien dans le temps que dans l’espace. Ainsi, un procédé qui réalise l’équipartition dans le temps est un procédé dit en régime stationnaire ou permanent, et apparaît donc comme minimisant la production globale d’entropie par rapport aux régimes non-stationnaires « voisins ». C’est là un résultat connu et établi par Prigogine, qui sera ainsi étendu et englobé dans une propriété plus générale (§ 2.2).

Les procédés ou les systèmes où la production d’entropie est ainsi strictement équirépartie ne sont pas en général réalisables en pratique. Dans ce cas, ces procédés ou systèmes fictifs servent de cas de référence, de borne supérieure, de cas semi-idéal dont on cherche à se rapprocher. Pour quantifier le degré d’irréversibilité d’un procédé ou d’un système réel ou modèle, nous montrerons comment on peut définir l’écart au cas de l’équipartition à l’aide d’une production d’entropie d’excès (§ 2.3).

Nous montrerons également que l’hypothèse linéaire des relations flux-force évoquée plus haut n’est pas nécessaire, et que ces propriétés structurelles sont conservées moyennant des hypothèses plus faibles, comme la « convexité » des relations flux-force (§ 2.4).

L’écart à l’équipartition et la production d’entropie d’excès seront utilisés pour comparer entre eux différents contacteurs ou différentes conditions de fonctionnement, et établir d’autres résultats généraux illustrés ici sur le cas de l’échangeur de chaleur co-axial (§ 3).

Dans le dossier , nous présentons des exemples et applications de l’équipartition, et également quelques extensions.