Applications à l’électrotechnique
Électromagnétisme

Une bonne connaissance de l’électromagnétisme, partie de la physique qui traite des relations entre les phénomènes électriques et magnétiques, est une des bases nécessaires à l’électrotechnicien ; nous nous sommes donc efforcés de présenter un exposé logique, précis, utile et pouvant même augmenter la culture générale de l’électrotechnicien.

Avant de détailler chaque point, signalons d’abord que nous avons adopté les notations et le système d’unités définis par les normes françaises et internationales [Bureau International des Poids et Mesures (1985), Union Technique de l’Électricité (1981), Union Internationale de Physique Pure et Appliquée (1965)] (cf. articles Unités légales et facteurs de conversion [A 24] dans le traité Plastiques et Composites et Système d’unités MKSA de Giorgi [D 50] dans le traité Génie électrique). Nous utilisons donc le vocabulaire suivant :

• pour les grandeurs de base :

  $\begin{array}{l}\overrightarrow{E}champélectrique\\ \stackrel{\circlearrowleft }{B}inductionmagnétique\\ \overrightarrow{D}déplacement\left(induction\right)électrique\\ \stackrel{\circlearrowleft }{H}champmagnétique\end{array}\}$ ^( 1 )

• pour les sources :

  $\begin{array}{l}\rho densitévolumiquedecharge\\ \overrightarrow{J}densitédecourant\end{array}\}$ ^( 2 )

• dans le cas de relations linéaires :

  $\begin{array}{lll}\epsilon \hfill & permittivitéavec\hfill & \overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}\hfill \\ \mu \hfill & perméabilitéavec\hfill & \stackrel{\circlearrowleft }{B}=\mu \stackrel{\circlearrowleft }{H}\hfill \\ \gamma \hfill & conductivitéavec\hfill & \overrightarrow{J}=\gamma \overrightarrow{E}\hfill \end{array}$

Ces précisions sont très importantes dans le domaine de l’électromagnétisme où il est difficile de dire que l’unanimité est atteinte ! Toutes les considérations qui amènent à montrer que tel système est meilleur que tous les autres nous paraissent d’ailleurs artificielles : un système est bon s’il permet de repérer les différents types de grandeurs par différents types de symboles en restant le plus près possible de la réalité physique.

• Des considérations de pure logique montrent qu’une relation dont on ignore le domaine de validité est inutile et peut même être dangereuse. Nous avons donc cherché à montrer l’origine des différentes relations en distinguant dès le début de l’article, d’une part, les lois générales de l’électromagnétisme (équations de Maxwell et relation énergétique) et, d’autre part, les relations particulières correspondant aux différents matériaux. C’est ainsi qu’il faut distinguer une loi générale $(\text{div}\overrightarrow{D}=\rho$ , par exemple) d’une relation particulière $\left(\overrightarrow{J}=\gamma \overrightarrow{E}\right)$ qui n’est pas une loi mais une relation valable dans certains cas (fréquemment réalisés, il est vrai).

  Par ailleurs, il existe deux types de présentation (microscopique et macroscopique) des équations de Maxwell suivant que, par exemple, dans un solide, la densité volumique de charge $\left(\rho =\text{d}Q\text{/d}\mathcal{V}\right)$ est définie soit en se glissant entre les atomes ( $\text{d}\mathcal{V}$ nettement inférieur à 10 ^–3 nm³, le volume d’un atome étant de l’ordre de 30 · 10 ^–3 nm³), soit, au contraire, en considérant des $\text{d}\mathcal{V}$ comportant au moins 10 ⁴ atomes. C’est cette dernière présentation (macroscopique) que nous avons considérée parce qu’elle est la plus simple et permet de traiter la quasi-totalité des problèmes (le domaine des supraconducteurs étant exclu, cf., dans ce traité, article [D 2 700] Supraconducteurs) qui se présentent aux électrotechniciens.

  Enfin, pour que le lecteur puisse suivre la logique de l’exposé, nous avons toujours soit donné les détails des démonstrations simples, soit indiqué seulement le schéma du déroulement des idées dans les cas compliqués ; il est ainsi possible, par exemple, de voir que la seule loi générale sur la densité volumique d’énergie magnétique est sa variation $\stackrel{\circlearrowleft }{H}\cdot \partial \stackrel{\circlearrowleft }{B}$ et non pas sa valeur $\mu H^2\text{/}2$ qui n’a de sens que pour les corps idéaux, c’est-à-dire régis par une loi $\stackrel{\circlearrowleft }{B}=\mu \stackrel{\circlearrowleft }{H}$ de stricte proportionnalité entre $\stackrel{\circlearrowleft }{B}et\stackrel{\circlearrowleft }{H}$ .

• Pour qu’un exposé puisse être précis, il faut qu’il ne comporte que des grandeurs bien définies n’intervenant que dans des relations intrinsèques.

  L’intensité d’un courant ne peut être bien définie qu’après avoir indiqué le sens par rapport auquel ce courant est repéré. La différence de potentiel entre deux points $\text{A}et\text{B}$ doit, de même, être précisée par U = V _A – V _B ou U = V _B – V _A . La charge Q d’un condensateur n’a pas de sens : il faut indiquer les charges Q _i et Q_j des électrodes i et j, etc.

  La densité superficielle de charge σ à la limite de deux milieux doit s’exprimer sous la forme de la relation intrinsèque $\sigma =\left({\overrightarrow{D}}_1-{\overrightarrow{D}}_2\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_{21},où{\overrightarrow{n}}_{21}$ est la normale unitaire dirigée du milieu $2$ vers le milieu $1$ . Cette relation est bien intrinsèque puisque la permutation de $1et2$ ne change pas le résultat ; il n’en est pas de même pour l’expression très répandue : σ = D _1n – D _2n .

  On peut cumuler les deux types d’imprécisions dans une relation du type Q = CU complètement asexuée (c’est-à-dire sans signe), alors que l’expression intrinsèque de la charge d’une électrode d’un condensateur idéal est Q _i = C (V_i – V_j ).

• Les électrotechniciens utilisent, de plus en plus, des courants non sinusoïdaux et des fréquences de base plus élevées que 50 Hz. Nous avons donc, pour certains problèmes (évaluation des pertes par exemple), considéré l’évolution des phénomènes en fonction de la fréquence et montré qu’on pouvait se contenter, avec une assez bonne précision, d’utiliser deux lois asymptotiques respectivement valables pour $\omega \to 0et\omega \to \infty$ . Nous avons ainsi développé une méthode qui permet de calculer assez simplement les pertes par effet Joule dans un conducteur de section quelconque parcouru par un courant périodique quelconque. Par ailleurs, l’utilisation de courants non sinusoïdaux et de fréquences élevées montre qu’il est de plus en plus nécessaire que les électrotechniciens acquièrent de bonnes connaissances de base sur les matériaux magnétiques. L’exemple montre qu’il existe parfois de grandes lacunes dans ce domaine et la définition de l’aimantation $\stackrel{\circlearrowleft }{M}$ comme la densité volumique $\text{d}\stackrel{\circlearrowleft }{\mathcal{M}}\text{/d}\mathcal{V}$ de moment magnétique (qui laisse croire que $\stackrel{\circlearrowleft }{M}$ est une grandeur spatialement continue) a fait beaucoup de mal à ce sujet : on ne peut vraiment comprendre le comportement des ferromagnétiques qu’en considérant la vérité, c’est-à-dire l’existence des domaines de Weiss et leur séparation par les parois de Bloch . Nous avons essayé de présenter ces notions de la façon la plus simple possible dans le paragraphe 2.2.4.

• Pour mettre en évidence les caractères des différentes grandeurs physiques, on peut distinguer, dans un premier temps, deux types de vecteurs :

  • les vecteurs polaires (comme une force $\overrightarrow{F}$ , le champ électrique $\overrightarrow{E}$ , le déplacement électrique $\overrightarrow{D}$ ) qui ont la symétrie d’une flèche ;

  • les vecteurs axiaux (comme un couple $\stackrel{\circlearrowleft }{\Gamma }$ , le champ magnétique $\stackrel{\circlearrowleft }{H}$ , l’induction magnétique $\stackrel{\circlearrowleft }{B}$ ) qui ont la symétrie d’une toupie en train de tourner ; à ce stade, il est nécessaire de disposer d’un tire-bouchon pour définir les trois composantes à droite de ce type de « vecteur » tandis qu’un tire-bouchon de farce et attrape fournirait les trois composantes à gauche.

  Le petit effort nécessaire pour acquérir cette différence permet ensuite de prévoir le cadre des relations possibles et de mieux comprendre ainsi les phénomènes : à propos de flux, par exemple, on montre qu’une bonne grandeur physique ne peut concerner que le flux de $\overrightarrow{D}$ au travers d’une surface fermée limitant un volume ou le flux de $\stackrel{\circlearrowleft }{B}$ au travers d’une surface s’appuyant sur et limitée par un contour fermé.

  Une analyse plus profonde et plus générale montre que chaque grandeur physique peut être caractérisée au moyen de deux critères :

  • sa nature dimensionnelle (liée aux modifications de la mesure de cette grandeur quand on change les unités de base) ;

  • sa nature tensorielle (liée aux modifications des composantes de cette grandeur quand on change les vecteurs de base qui permettent de repérer l’espace) ; ce second critère [très souvent négligé et considéré à tort comme très difficile, ce qui nous a conduit, pour ne pas rebuter les lecteurs, à reporter dans l’annexe A 4 tout ce qui le concerne] permet d’acquérir des notions plus synthétiques sur la physique en général et l’électromagnétisme en particulier.

  Une relation générale d’égalité ne peut donc unir que deux grandeurs de même nature tensorielle, c’est-à-dire des grandeurs dont les composantes réagissent de la même façon quand on modifie les vecteurs de base de l’espace. Comme il est possible de montrer que $\overrightarrow{E}et\overrightarrow{D}$ n’ont pas la même nature tensorielle, il ne peut donc exister, même dans le cas du vide (et quel que soit le système d’unités choisi), une relation générale de pure proportionnalité entre $\overrightarrow{D}et\overrightarrow{E}$  ; néanmoins, dans ce cas, si on s’astreint à n’utiliser que des vecteurs de base triorthogonaux, la relation $\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}$ est utilisable de même que la relation « la longueur du navire = l’âge du capitaine » reste valable si on s’astreint à conserver les mêmes unités de longueur et de temps.

  Il est également possible de montrer que $\stackrel{\circlearrowleft }{H}et\stackrel{\circlearrowleft }{B}$ n’ont pas la même nature tensorielle et il est donc impossible de prétendre en général que, dans le cas du vide, la différence entre ces grandeurs n’est qu’une question d’unités.

  C’est toujours la nature tensorielle des grandeurs qui montre (contrairement à ce que l’on peut lire dans certains ouvrages) que le théorème de Gauss doit faire intervenir en général les charges électriques et le flux de $\overrightarrow{D}$ tandis que le théorème d’Ampère doit lier les courants et la circulation de $\stackrel{\circlearrowleft }{H}$ .

  Les erreurs que nous venons de signaler (exemple : $\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}et\stackrel{\circlearrowleft }{B}={\mu }_0\stackrel{\circlearrowleft }{H}$ dans le vide) subsistent dans la littérature parce que leurs usagers, tant qu’ils se bornent à l’utilisation de vecteurs de base triorthogonaux, obtiennent des résultats corrects sans être sanctionnés ; néanmoins, il ne faut pas confondre un procédé commode et ses conditions d’utilisation (que nous emploierons) avec la réalité des phénomènes. C’est dans ce sens que l’on peut montrer que les prétendus vecteurs axiaux sont en réalité des grandeurs d’un type $\stackrel{\&}{T}\left(\stackrel{\&}{H}et\stackrel{\&}{B}\right)$ qui, dans l’espace à 3 dimensions, ont 3 ² = 9 composantes (les 3 ex-composantes à droite , les 3 ex-composantes à gauche et 3 composantes nulles), tandis qu’un véritable vecteur (ex-vecteur polaire) est défini par 3 composantes. Si, épris de physique moderne, on considère les doctrines relativistes (qui datent de 1905) où interviennent de façon indissolublement liée quatre coordonnées (x, y, z, t) d’espace-temps, on montre que l’électromagnétisme est constitué essentiellement à partir de deux grandeurs du type $\overrightarrow{\overrightarrow{T}}à4^2=16$ composantes (dont quatre sont nulles) : la première grandeur $\overrightarrow{\overrightarrow{\mathcal{H}}}$ est formée à partir des composantes de $\overrightarrow{\overrightarrow{H}}et\overrightarrow{D}$ , la deuxième $\overrightarrow{\overrightarrow{\mathcal{B}}}$ à partir de $\overrightarrow{\overrightarrow{B}}et\overrightarrow{E}$ . Le rapprochement ainsi effectué entre $\stackrel{\circlearrowleft }{H}et\overrightarrow{D}$ , d’une part, $\stackrel{\circlearrowleft }{B}et\overrightarrow{E}$ , d’autre part, montre que le vocabulaire adopté [relations [1]] n’est pas rationnel. Il paraît néanmoins difficile de changer la désignation des grandeurs physiques à chaque nouveau progrès des connaissances. À titre d’exemple, les partisans du changement, depuis la découverte (1939) de la possibilité de fission de certains atomes devraient parler de la fission des sécables d’uranium 235 (et non plus des atomes d’uranium 235).

  Les natures tensorielles complètes de $\overrightarrow{\overrightarrow{\mathcal{H}}}\left(\overrightarrow{\overrightarrow{H}},\overrightarrow{D}\right)et\overrightarrow{\overrightarrow{\mathcal{B}}}\left(\overrightarrow{\overrightarrow{B}},\overrightarrow{E}\right)$ , le type $\overrightarrow{\overrightarrow{T}}$ n’étant qu’une indication partielle, montrent alors  que $\overrightarrow{\overrightarrow{\mathcal{H}}}$ doit satisfaire obligatoirement à une certaine relation qui conduit, dans le langage relatif à l’espace à 3 dimensions, à :

  $\overrightarrow{\text{rot}}\stackrel{\circlearrowleft }{H}-\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}=\overrightarrow{J}$ ^( 3 )

  $\text{div}\overrightarrow{D}=\rho$ ^( 4 )

  tandis que, pour $\overrightarrow{\overrightarrow{\mathcal{B}}}$ , la relation autorisée la plus simple (et donc la première à essayer) se traduit dans les mêmes conditions par :

  $\stackrel{\circlearrowleft }{\text{rot}}\overrightarrow{E}+\frac{\partial \stackrel{\circlearrowleft }{B}}{\partial t}=0$ ^( 5 )

  $\text{div}\stackrel{\circlearrowleft }{B}=0$ ^( 6 )

  Nous retrouvons ainsi les équations de Maxwell classiques 1.2.1 à partir de pures considérations tensorielles.

  Nota :

  L’article comprend trois parties respectivement consacrées aux bases de l’électromagnétisme, à ses différents aspects et à ses applications à l’électrotechnique. L’annexe A 4 est consacrée à la nature tensorielle des grandeurs tandis que l’annexe B 5 concerne les différents opérateurs différentiels et leurs applications.