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RÉSUMÉ
La morphologie mathématique est rapidement devenue une théorie fondamentale du traitement et de l'analyse d'images. Les opérateurs qu'elle propose permettent de fournir des outils pour toute la chaîne de traitement d'images, des prétraitements à l'interprétation de scènes. Ils permettent de transformer les images, d'en extraire des caractéristiques, des objets ou encore des mesures par une analyse associant propriétés des objets eux-mêmes et propriétés du contexte. Dans cet article, sont présentés les opérateurs de base de la morphologie mathématique, dans les cas d'images binaires et à niveaux de gris. Les fondements mathématiques sont brièvement évoqués. Quelques autres opérations sont ensuite décrites : opérateurs géodésiques et reconstruction, filtres, transformation en tout-ou-rien, amincissement, épaississement et squelette, et pour finir les outils morphologiques principaux de segmentation.
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After its introduction in the 1960s, mathematical morphology rapidly became a fundamental theory of image processing and analysis. It provides tools for the entire image processing chain, from pre-treatment (filtering, contrast enhancement) to segmentation and scene interpretation. One of their main features is their non-linear nature. They can transform images, extract features, objects or measurements (shape, size, appearance ...) through an analysis associating the properties of the objects themselves and the context properties (local neighborhood or relations with other objects). In this article, the basic operators are presented (dilation, erosion, opening, closing), both for binary and grey-level images. A few applications associated with these operators are illustrated. The mathematical background is briefly mentioned, in particular the framework of complete lattices, which defines more general operators. A few other operations, useful in the engineering practice, are then described: geodesic and reconstruction operators, filters, all-or-nothing processes, thinning, thickening and skeleton, and finally the main morphological segmentation tools, focusing on watersheds.
Auteur(s)
-
Isabelle BLOCH : Professeur - Institut Mines-Télécom – Télécom ParisTech – CNRS LTCI – Paris
INTRODUCTION
La morphologie mathématique est rapidement devenue, depuis son introduction dans les années 1960 , une théorie fondamentale du traitement et de l’analyse d’images. Les opérateurs qu’elle propose permettent de fournir des outils pour toute la chaîne de traitement d’images, des prétraitements (filtrage, rehaussement de contraste) à la segmentation et à l’interprétation de scènes. Une des caractéristiques importantes de ces opérateurs est qu’ils sont non linéaires. Ils permettent de transformer les images, d’en extraire des caractéristiques, des objets ou encore des mesures par une analyse associant propriétés des objets eux-mêmes (forme, taille, apparence…) et propriétés du contexte (voisinage local ou relations avec d’autres objets).
Pour décrire de manière très synthétique la « boîte à outils » de la morphologie mathématique, il faut retenir les points suivants :
-
les transformations sont non linéaires, elles sont fondées sur des opérations de type sup et inf ;
-
les transformations sont généralement non inversibles, et elles perdent donc de l’information ; le travail du morphologue consiste alors à déterminer les transformations adaptées à son problème, c’est-à-dire qui vont « simplifier » les images en retenant l’information pertinente ;
-
des propriétés analytiques et algébriques sont attachées aux opérations, ce qui permet d’assurer des propriétés précises sur les objets ou images issues des transformations ; c’est sur ces propriétés que l’on s’appuie pour enchaîner les transformations afin de résoudre un problème particulier ;
-
des algorithmes sont également associés aux transformations, permettant leur application de manière efficace.
Dans la suite, nous ferons de rapides rappels historiques, puis introduirons les quatre opérations de base de la morphologie mathématique (dilatation, érosion, ouverture, fermeture), dans les cas d’images binaires et d’images à niveaux de gris. Quelques applications immédiates de ces opérations seront illustrées. Nous reviendrons par la suite sur les fondements mathématiques qui sous-tendent ces définitions, en particulier sur le cadre algébrique des treillis complets, qui est fédérateur et permet de définir des opérations plus générales. Nous étudierons ensuite quelques autres opérations utiles en pratique : opérateurs géodésiques et reconstruction, filtres, transformation en tout-ou-rien, amincissement, épaississement et squelette. Puis nous décrirons les outils morphologiques principaux de segmentation, avec en particulier la ligne de partage des eaux. En guise de conclusion, nous citerons quelques avancées récentes de la morphologie mathématique. Cet article s’appuie en partie sur un cours publié dans .
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MOTS-CLÉS
morphologie mathématique treillis complet dilatation érosion ouverture fermeture opérateurs géodésiques reconstruction squelette segmentation filtres morphologiques ligne de partage des eaux
KEYWORDS
mathematical morphology | complete lattices | dilatation | erosion | opening | closing | geodesic operators | reconstruction | skeleton | segmentation | morphological filters | watersheds
DOI (Digital Object Identifier)
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Segmentation morphologique
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6. Transformation en tout-ou-rien et squelette
Les transformations décrites dans les sections précédentes sont toutes fondées sur le même principe dans le cas binaire : elles examinent si une certaine configuration de points (définie par l'élément structurant) vérifie une relation avec l'objet étudié. La transformation en tout-ou-rien consiste à examiner des configurations où certains points vérifient une relation avec l'objet et d'autres vérifient une relation avec le complémentaire de l'objet, et permet donc une analyse fine du voisinage de chaque point. Notons que l'on sort alors du cadre des opérations croissantes. Les éléments structurants T considérés dans cette transformation sont décomposés en T 1 et T 2 qui en forment une partition (
et
). La transformation en tout-ou-rien de X par l'élément structurant T = (T 1, T 2) est définie par :
( 19 )
Puisque
, l'origine ne peut pas appartenir à la fois à T 1 et à T 2, donc on ne peut pas avoir simultanément
et
et le résultat n'est donc pas toujours vide. Lorsque l'origine appartient à T 1, le résultat est toujours inclus dans X et on peut alors définir une nouvelle transformation, appelée amincissement, par
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