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Auteur(s)
-
Jacques PRADO : Maître de conférences à l’École nationale supérieure des télécommunications (ENST)
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Lire l’articleINTRODUCTION
La période ou la fréquence d’échantillonnage est un élément essentiel dans de nombreux traitements numériques des signaux. Elle détermine souvent l’efficacité et la précision avec laquelle un traitement pourra être effectué, dans certains cas on aura besoin de la changer afin d’obtenir des algorithmes dépendant de la bande de fréquence à analyser, dans d’autres cas il s’agira simplement de passer d’un standard à un autre (passage de 44,1 kHz à 32 ou 48 kHz en audio). On trouvera des applications en communication, en traitement de parole, en traitement d’antennes, etc.
La transformation d’un signal donne une nouvelle représentation de ce signal. Le but recherché est souvent d’obtenir une meilleure localisation ou représentation de l’information contenue dans le signal, le qualificatif meilleure étant mesuré selon un critère qui reste à définir.
L’exemple élémentaire de transformation est la transformée de Fourier discrète qui à une séquence de longueur N associe une séquence de même longueur. Une telle transformation est dite sans perte ou orthogonale et est représentable par une matrice unitaire c’est-à-dire dont l’inverse est la matrice transposée conjuguée.
Dans beaucoup d’applications il peut être intéressant de séparer le signal d’entrée en plusieurs composantes en sous-bandes. Ceci permet en effet de situer la ou les bandes de fréquence où l’on peut trouver l’information. Une utilisation possible est la compression en vue de diminuer la quantité d’information à transmettre et qui consiste à ne prendre en compte que les bandes de fréquences dans lesquelles l’énergie est supérieure à un certain seuil. La transformée de Fourier discrète est un exemple, mais il est possible d’envisager un traitement équivalent à l’aide d’un ensemble de filtres passe-bande.
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Relations banc de filtres-ondelettes
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2. Bancs de filtres
2.1 Transformation d’un signal
La transformée de Fourier discrète est un exemple courant de transformation d’un signal dans le but d’en obtenir une « meilleure » localisation (représentation de l’information). Un traitement équivalent est possible, à l’aide d’un ensemble de filtres passe-bande , pour lequel certaines précautions sont à prendre :
-
si on utilise un ensemble quelconque de filtres passe-bande, la quantité d’informations à traiter peut augmenter considérablement ;
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on doit souvent pouvoir reconstituer le signal original ou une approximation suffisante à partir des signaux issus de chaque sous-bande.
Le problème de la croissance de la quantité d’informations est résolu assez simplement. Considérons qu’un signal réel soit décomposé en M sous-bandes uniformes, alors il est possible de sous-échantillonner le signal de sortie de chaque filtre par un facteur M. La fréquence globale de traitement est conservée, il n’y a donc pas accroissement de la quantité d’informations (figure 17).
Par contre, le sous-échantillonnage crée un repliement inévitable avec des filtres physiquement réalisables. Il devient alors difficile de retrouver le signal original à partir des signaux sous-échantillonnés de chaque sous-bande. L’élimination des effets de repliement est-elle possible ? Sous certaines conditions, la réponse est oui : à l’aide d’un banc de filtres de synthèse pour lequel on obtiendra une reconstruction parfaite ou presque parfaite.
On pourra classer ces différents traitements de la façon suivante :
-
les transformations sans perte dites encore orthogonales, représentables par une matrice unitaire ;
-
les transformations inversibles dites encore biorthogonales, représentables par une matrice inversible ;
-
les transformations avec perte, représentables par une matrice non inversible.
Les deux premiers traitements permettent une reconstruction parfaite du signal, le dernier permet une...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - CROCHIERE (R.), RABINER (L.) - Multirate Digital Signal Processing. - Prentice Hall (1983).
-
(2) - VAIDYANATHAN (P.P.) - Multirate Systems and Filter Banks. - Prentice Hall (1993).
-
(3) - LU HUA XU (W.-S.), ANTONIOU (A.) - An improved method for the design of FIR quadrature mirror-image filter banks. - IEEE Trans. Signal Processing, 46 (5), p. 1275-1281, mai 1998.
-
(4) - LU HUA XU (W.-S.), ANTONIOU (A.) - Design of perfect reconstruction QMF banks by a null space projection method - (1995).
-
(5) - LU HUA XU (W.-S.), ANTONIOU (A.) - Efficient iterative design method for cosine-modulated QMF banks. - IEEE Trans. Signal Processing, 44 (7), p. 1657-1668, juil 1996.
-
(6) - KOLPILLAI (R.D.), VAIDYANATHAN (P.P.) - Cosine-modulated QMF banks satisfying perfect reconstruction. - IEEE Trans. Signal Processing, 40, p. 770-783...
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