Présentation
INTRODUCTION
Pour le calcul d’un réseau topométrique et la détermination de coordonnées de points nouveaux (position des sommets, longueur et gisement des côtés), sont effectuées des mesures d’angles et de distances en nombre plus grand qu’il n’est nécessaire à la simple résolution géométrique.
La première partie de cet article traite du calcul des coordonnées de deux points approchés, sur la base de points connus. Les trois méthodes classiques existantes, qui sont en fait des méthodes semi-graphiques sont présentées : l’intersection, le rayonnement, le relèvement. Le calcul par intersection est possible lorsque les directions de visée des points nouveaux se coupent d’un angle proche de 100 grades. Le calcul par rayonnement impose la mesure de deux distances permettant de lier deux points connus aux points nouveaux. Le calcul par relèvement, basé sur la mesure d’angles à partir du point nouveau, utilise une méthode barycentrique pour conduire au résultat.
Une fois cette détermination effectuée, la seconde partie aborde les méthodes de compensation à appliquer pour aboutir aux coordonnées des points définitifs des éléments du réseau, les inconnues étant les variations des coordonnées approchées des points à déterminer. Une application de la méthode de résolution des moindres carrés, méthode entièrement numérique utilisant les relations d’observation, ainsi que la méthode par substitution est proposée.
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Calcul des points approchés| Plan de la page |
I - Principe
Inconnues
Il s’agit des variations d x et d y des coordonnées approchées x o et y o des points à déterminer, telles que les coordonnées définitives x = x o + d x et y = y o + d y correspondent aux valeurs F les plus probables des observations faites. En effet, celles-ci sont reliées aux coordonnées définitives x, y,... par des relations F = f (x, y,...) qui, si on fait le choix de valeurs x o et y o suffisamment proches, peuvent se développer d’après la formule de Taylor arrêtée au 1 er ordre :
F = f(x o + dx, y o + dy...) = f(x o , y o ...) + (df/dx) dx + (df/dy) dy + ...
Valeur F
La valeur la plus probable F d’une observation est reliée à la mesure « a » par un résidu « v » dont la somme des carrés Σ(v 2 ) est minimum :
F = a + v tel que Σ(v 2 ) est minimum :
et la relation ci-dessus s’écrit :
(dF/dx) dx + (dF/dy) dy +... + F (x o , y o ...) – a = v
Chaque observation donne lieu à une analyse de ce type. On aboutit à un système où il y a plus d’observations (n) que d’inconnues (t).
a 1 x 1 + b 1 x 2 + ... + t 1 x t + k 1 = v 1 ... = ... a n x 1 + b n x 2 + ... +t n x t + k n = v n
Avec
- n > t ;
- a, b,...t représentent les coefficients dF/dx, dF/dy)... ;
- le terme k = F(x o ,y o ,...) a la valeur approchée moins la valeur observée.
Les inconnues correspondant aux valeurs les plus probables des observations sont les solutions du système rendant minimale la somme des carrés des résidus. D’où le...
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