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INTRODUCTION
Faire l’hypothèse de la conservation des sections droites passe par la connaissance de l’équilibre élastique sur l’ensemble de toutes les sections des matériaux en jeu.
Pour ce faire, une série d’autres hypothèses encore plus restrictives sont nécessaires, comme celle dite « de Navier-Bernoulli » qui obligent à déterminer trois inconnues de déformation. À chaque étape du calcul, il faut garder à l’esprit le risque d’erreurs dû à l’influence de paramètres souvent négligés comme les phénomènes d’instabilité.
D’où la présence, en dernière partie de cet article, d’outils permettant de déterminer les conditions de stabilité avec les notions de calcul élastique, contrainte dite « déterminante », la théorie de Coulomb, etc.
D’aucuns jugeront ces connaissances inutiles dans un contexte réglementaire où les vérifications se concentrent au domaine plastique. Cependant, ces méthodes sont un plus de compétences à maîtriser dans la théorie complexe des poutres.
Pour de plus amples informations, le lecteur est invité à lire les articles complémentaires [TBA1335] et [TBA1340] .
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Hypothèse de la conservation des sections droites - Introduction| Plan de la page |
I - Généralités
Résistance des matériaux
Le problème de la résistance des matériaux qui consiste à déterminer les contraintes et les déformations dans une pièce en connaissant les forces extérieures n’est pas encore résolu. Nous disposons maintenant des relations d’équivalence et pour une pièce parfaitement élastique de la loi de Hooke.
En fait, si les équations d’équivalence concernent une section droite de la pièce, le problème de l’équilibre élastique intéresse l’ensemble de toutes les sections et, pour appliquer la loi de Hooke, c’est une série d’équations d’équivalence qu’il faudrait résoudre.
La seule possibilité consiste à faire des hypothèses plus restrictives permettant d’appliquer simultanément les équations d’équivalence et la loi de Hooke, ce qui permettrait de lever l’indétermination.
Hypothèse de Navier-Bernoulli (ou de conservation des sections droites)
Cette hypothèse nous dit que au cours de la déformation élastique d’une pièce, toute section droite reste plane, identique à elle-même et normale à la fibre moyenne déformée (ce qui n’est pas toujours vrai).
Mais, si cette hypothèse est satisfaite (l’expérience prouve qu’elle l’est dans certains cas), la déformation en un point quelconque de la pièce peut être connue si on connaît la déformation de la fibre moyenne ( cf . Fig. 1 ).
Ainsi, pour connaître la déformation en un point M, il suffit de connaître sa position avant et après déformation. Si M(x, y) est un point de la section droite (A) normale en G à la fibre moyenne de la pièce, après déformation le point vient en M’(x’, y’) dans le plan de la section droite (A’) normale en G’ à la fibre moyenne déformée donc : y = y’ et z = z’
La position de M’ sera donc déterminée si on connaît la position de G’et la rotation du plan de (A’) par rapport à celui de (A).
En particulier, si la déformation de la fibre moyenne s’est effectuée (cas courant) dans le plan xGy, la position de M’ sera définie...
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