1 - CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

• 1.1 - Tomographie
  Figure 1 - Projection sur un détecteur d'un corps cylindrique selon un axe défini par l'angle θ. Le plan de la feuille est appelé plan de coupe (ou slice). Le corps cylindrique (gris clair) atténue peu, sauf dans une petite zone circulaire (en noir). Les niveaux de gris mesurés par le détecteur sont représentés en rouge
• 1.2 - Représentation des coupes : voxels
• 1.3 - Nombres de Hounsfield (CT values)
• 1.4 - Projections, rétroprojections (backprojections) et pondération
  Figure 2 - En haut : projections selon quatre angles θ. De l'une à l'autre, la fonction P (r, θ) change d'aspect (en rouge sombre). Traçons sur un diagramme (r, θ) toutes les fonctions P (r, θ) (en chaque point (r, θ), la valeur de P(r, θ) en ce point). La fonction P (r, θ) ainsi obtenue est en fait la somme (la superposition) de toutes les projections P (r, θ) pour tous les angles θ. C'est elle qui est représentée sur les quatre schémas du bas En bas : backprojections de la fonction P (r, θ) (tracée en coordonnées cartésiennes P (x, y)). Après addition (superposition, comme ci-dessus) de toutes les backprojections pour tous les angles θ, le résultat obtenu S (r, θ) s'approche de la fonction recherchée α (r, θ), mais avec une perte sensible de résolution Figure 3 - Recouvrement de l'espace kx, ky par les fonctions P (k, θ). Les zones proches de k = 0 sont « sur-recouvertes » par rapport aux zones avec des grandes valeurs de k, d'où la nécessité d'introduire le filtre en rampe et de retenir ÙkÙ · P (k, θ) au lieu de P (k, θ). La superposition des valeurs prises par ÙkÙ · P (k, θ) pour tous les angles θ donne alors la transformée de Fourier de a (x, y). Une grille kx, ky est aussi représentée, car les processeurs FFT travaillent sur des grilles cartésiennes : il est nécessaire d'effectuer une interpolation entre des valeurs polaires discrètes (en k et en θ) et une grille de calcul choisie de telle sorte que les interpolations introduiront un minimum d'erreurs (ne pas confondre cette grille avec l'échantillonnage de l'image en voxels, réalisé à la fin des calculs).
• 1.5 - Faisceau parallèle et faisceau en éventail

2 - RECONSTRUCTIONS ANALYTIQUES : FILTERED BACKPROJECTION (FBP)

• 2.1 - Projection ou transformée de Radon
• 2.2 - Filtered backprojection
  Figure 4 - Backprojection effectuée dans le cas d'un parallélépipède de base carrée et d'absorption homogène, dont on cherche à reconstituer l'absorption de chaque voxel par le calcul. Par souci de simplicité, la projection correspondante à une incidence parallèle à une des faces du parallélépipède a été représentée, d'où son aspect rectangulaire (même intensité quelle que soit la valeur de r). Deux exemples de backprojections sont présentés : une backprojection sans filtrage en rampe (en haut), et une backprojection avec filtrage (en bas). Le cas du haut correspond à la tomographie traditionnelle : l'atténuation de la backprojection est positive quelles que soient les valeurs de r et de rt (axe perpendiculaire à r). On conçoit qu'en sommant ces backprojections pour tous les angles θ , on n'obtiendra pas la forme initiale mais une absorption de forme conique évoquant le parallélépipède avec une forte perte de résolution. La filtered backprojection attribue des atténuations négatives (non physiques) à certaines valeurs de r et de rt, mais la reconstitution finale, une fois sommées toutes les backprojections, correspondra au parallélépipède initial, sans perte de résolution Figure 5 - Synopsis de la reconstruction FBP. Il en existe des variantes, liées au fait que le filtrage et la backprojection peuvent être inversés, ou que certaines opérations peuvent être décomposées (introduction de la transformée de Hilbert en lieu et place de la transformée de Fourier par exemple)
• 2.3 - Échantillonnage
• 2.4 - MTF du processus de reconstruction analytique
• 2.5 - Prise en compte du bruit et filtre d'apodisation
  Figure 6 - Allure de quelques filtres types
• 2.6 - Artefacts de reconstruction en FBP
• 2.7 - Reconstruction multi-slice CT (MSCT) et CBCT en FBP
  Figure 7 - Domaines d'application du FBP et de ses variantes en multi-slice

3 - RECONSTRUCTIONS ALGÉBRIQUES

• 3.1 - Principe mathématique des reconstructions algébriques
  Figure 8 - Présentation du faisceau en « nappe » et exemple de définition de la matrice de projection [A] en méthode algébrique, par la technique des surfaces. D'autres définitions sont possibles. Dans une approche complète, la matrice [A] intègre toutes les informations disponibles sur la géométrie du système de radiographie et sur le patient (mouvement de la source, du détecteur, tache focale, etc.) Figure 9 - Représentation graphique du cas non trivial le plus simple qui soit : deux voxels (en vert), un détecteur avec un seul pixel. En théorie, deux seules projections seraient nécessaires, mais en pratique, les mesures étant bruitées, il en faut davantage (3 projections sont représentées ici sous formes de trois nappes de couleurs différentes). L'absorption des deux voxels, que l'on cherche à déterminer, est égale à 10 pour le premier, 2 pour le second (unités arbitraires). Le diagramme à droite permet de tracer les trois équations …
• 3.2 - Algorithmes itératifs et fonction « objectif »
  Figure 10 - Reconstruction itérative Figure 11 - Ce schéma reprend le cas très simple de la figure 9 (deux voxels, trois projections, un seul pixel). La méthode ART consiste, à chaque itération i, à retenir pour …
• 3.3 - Méthodes projectives
• 3.4 - Traitement du bruit : méthodes statistiques (ou bayésiennes)
  Figure 12 - Zone de convergence sur l'exemple à deux voxels de la figure 11. Le processus n'est guère efficace ici, faute d'un nombre suffisant de projections. Sur ce dessin, la variance de bruit σ2 est indépendante de la projection (cas gaussien) Figure 13 - Exemples classiques de fonctions de pénalisation Figure 14 - Courbe typique, pour une dose par projection et un nombre de projections donnés, du niveau de bruit dans l'image. Ces courbes dépendent du contraste des objets recherchés (ici il s'agit plutôt d'objets peu contrastés). Les méthodes statistiques permettent de réduire le bruit, donc la dose, d'environ 30 à 60 % par rapport aux méthodes analytiques
• 3.5 - Prise en compte de la compressibilité de l'image : compressed sensing
  Figure 15 - Allure des fonctions ÍXÍn pour différentes valeurs de n. Les normes Ln sont toutes convexes, à l'exception de L0 qui n'est que pseudo-convexe Figure 16 - Ce diagramme synthétise la multitude de méthodes algébriques aujourd'hui considérées. Les méthodes projectives sont les plus anciennes. Elles ont peu d'effet sur le bruit, ce qui constitue la principale qualité recherchée des méthodes itératives pour le prix de calculs beaucoup plus lourds. Parmi les méthodes statistiques, les méthodes ML (ML EM et dérivées) sont l'apanage de la médecine nucléaire où les données sont très bruitées. Comme elles convergent très lentement (et le bruit est proche d'un bruit gaussien, ce qui réduit leur intérêt), les CT-scanners optent plutôt pour des méthodes MAP. Les méthodes « compressed sensing » sont prometteuses, mais elles sont encore du domaine de la recherche

4 - PROBLÈME DE LA DOSE EN TOMOGRAPHIE

5 - CT-SCANNERS

6 - CBCT (CONE BEAM CT) À BASE DE DÉTECTEURS PLATS (FPD)

7 - TOMOSYNTHÈSE

8 - CONCLUSION

9 - GLOSSAIRE – DÉFINITIONS