Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Ce dossier étudie la stabilité et la synthèse de lois de commande et d'observateurs pour les multimodèles. Les résultats présentés reposent essentiellement sur la deuxième méthode de Lyapunov et la formulation LMI. L'approche multimodèles est basée sur l’interpolation de plusieurs modèles linéaire ; c'est une représentation polytopique, qui peut être obtenue directement à partir d'un modèle mathématique non linéaire, grâce à une transformation mathématique directe ou par linéarisation autour de différents points de fonctionnement. L'approche a l'avantage de résoudre les problèmes de synthèse de contrôleurs ou d’observateurs sous forme numérique.
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This dossier deals with the analysis of the stability and synthesis of control laws and observations for multiple models. The presented results are essentially based on Lyapunov's second method and LMI formulation. The multiple models approach is based on the interpolation of multiple linear models ; it is a convex polytopic representation, which can be obtained either directly from a nonlinear mathematical model, through mathematical transformation or through linearization around various operating points.
The approach has the advantage to establish the problems of controller or filter design in numerical terms.
Auteur(s)
-
Mohammed CHADLI : Maître de Conférences HDR - Université de Picardie Jules-Verne d'Amiens
-
Pierre BORNE : Professeur des universités - École centrale de Lille
INTRODUCTION
Ces dernières années, une approche globale basée sur de multiples modèles LTI (linéaires à temps invariant) autour de différents points de fonctionnement a été proposée. Cette approche, dite multimodèle, est une représentation polytopique convexe pouvant être obtenue soit directement à partir d'un modèle mathématique non linéaire, soit par transformation mathématique, soit par linéarisation autour de différents points de fonctionnement. De nombreux travaux concernant la stabilité de cette classe de systèmes non linéaires ont été publiés ces dernières années. Dans un premier temps, ces travaux se sont inspirés des techniques de commande des systèmes linéaires.
Ce dossier présente des résultats sur l'analyse de la stabilité et la synthèse de lois de commande et d’observateurs pour les multimodèles. Dans le but d'asseoir ces problèmes d’analyse et de synthèse sur des bases numériques, les résultats proposés sont basés essentiellement sur la deuxième méthode de Lyapunov et la formulation LMI (Linear Marix Inequality).
Ce dossier est organisé comme suit :
-
la représentation multimodèle et les outils utilisés sont tout d’abord présentés ;
-
puis quelques conditions suffisantes de stabilité des multimodèles utilisant des fonctions de Lyapunov quadratiques et non quadratiques sont proposées ;
-
la synthèse d'observateurs est par la suite considérée. L’estimation d’état en présence d’entrées inconnues est traitée et des conditions de synthèse sous forme LMI sont proposées ;
-
enfin, la stabilisation par retour d'état et de sortie non linéaire est considérée. Les performances des multimodèles en boucle fermée sont assurées par placement de pôles dans des régions LMI.
Des exemples illustratifs sont traités.
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KEYWORDS
Electronic-Automation | Nonlinear systems | Advanced control | Numerical tools
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Estimation d’état des multimodèles2. Stabilité des multimodèles continus
Notre objectif dans ce paragraphe est d’étudier la stabilité des multimodèles continus avec et sans incertitudes. Deux types de fonctions de Lyapunov sont utilisés : les fonctions quadratiques et non quadratiques. Enfin, des conditions de stabilité robuste impliquant deux types d’incertitudes sont proposées.
2.1 Analyse de stabilité
L'approche proposée dans ce paragraphe repose principalement sur les fonctions de Lyapunov quadratiques. Il s'agit de chercher une matrice symétrique définie positive (i.e. la fonction de Lyapunov quadratique associée, garantissant la stabilité asymptotique des multimodèles).
Considérons le multimodèle continu (1) en boucle ouverte :
( 35 )
Le multimodèle (35) est globalement asymptotiquement stable s'il existe une matrice symétrique P > 0 telle que les LMI suivantes sont vérifiées :
( 36 )
Ce résultat est obtenu en dérivant, le long de la trajectoire du multimodèle (35), la fonction quadratique V (x) = xT (t)Px (t). L'existence de P > 0 dépend de deux conditions :
-
la première est liée à la stabilité de tous les modèles locaux. Il est nécessaire que chaque matrice Ai soit de Hurwitz1 ;
-
la deuxième condition est relative à l'existence d'une fonction de Lyapunov commune aux N modèles locaux. Elle exige que la matrice
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...
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Stabilité des multimodèles continus
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - CHADLI (M.), BORNE (P.) - Multimodèles en Automatique-Outils Avancés d'Analyses et de Synthèse - Hermès-Lavoisier, p. 192, ISBN : 978-2-7462-3825-1 (2012).
-
(2) - CHADLI (M.), KARIMI (H.R.) - Robust Observer Design for Unknown Inputs Takagi-Sugeno Models - IEEE Trans. on Fuzzy Systems. Vol. 21(1), pp. 158-164 (2013).
-
(3) - CHADLI (M.), BORNE (P.) - Multiple models Approach in Automation : Takagi-Sugeno Fuzzy Systems - Wiley-ISTE. p. 208. ISBN : 978-1-84821-412-5 (2013).
-
(4) - CHADLI (M.), BORNE (P.) - Stabilité des multimodèles - Revue d’Électricité et d’Électronique, REE-SEE, N° 10, pp. 55-59 (2008).
-
(5) - CHADLI (M.) - On the Stability Analysis of Uncertain Fuzzy Models - International Journal of Fuzzy Systems, Vol. 8, N° 4, pp. 224-231 (Dec. 2006).
-
(6)...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
YALMIP Softawre, [Logiciel] Outil numérique gratuit de résolution d’égalités et inégalités matricielles (LME & LMI)
http://users.isy.liu.se/johanl/yalmip/
LMI Control Toolbox – MathWorks, Under MATLAB. [Logiciel] Outil numérique de résolution d’inégalités matricielles (LMI)
HAUT DE PAGE
(congrès, salons, colloques, journées d’étude)
École en modélisation, analyse et conduite des systèmes dynamiques (MACS). Observation, diagnostic et commande tolérante aux fautes de systèmes modélisés par des multimodèles de type Takagi-Sugeno. José RAGOT (Université de Lorraine), Mohammed CHADLI (Université de Picardie-Jules Verne).
Organisateur : S3/GDRMACS
HAUT DE PAGE3.1 Organismes – Fédérations – Associations (liste non exhaustive)
GDR MACS (Groupement de recheche...
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