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RÉSUMÉ
Cet article propose une introduction avancée sur les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires en présence éventuelle d’incertitudes. Dans un premier temps, l’apparition des modes ingouvernables ou inobservables est étudiée dans le cadre des systèmes monodimensionnels. Puis une généralisation aux systèmes multidimensionnels est décrite. Des détails sur la structure canonique de Kalman viennent compléter ces notions. Quelques réflexions sur la gouvernabilité forte et la gouvernabilité faible sont ensuite proposées avant que ne soient abordée une extension de la notion de gouvernabilité au cas des systèmes linéaires incertains. Des aspects logiciels viennent conclure cet article.
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Jean-Marc BIANNIC : Directeur de recherche à l’ONERA – Professeur à ISAE-SUPAÉRO - ONERA-DTIS, Toulouse, France
INTRODUCTION
L’article [S 7 130] « Représentation d’un système linéaire. Extensions aux systèmes incertains » avait introduit la représentation par modèle d’état, et montré comment ce modèle pouvait être obtenu à partir d’une représentation initiale sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert, et comment on pouvait obtenir, pour un système complexe constitué de sous-systèmes interconnectés, un modèle d’état global conservant l’information de structure.
Pour des raisons de simplicité, les notions – pourtant fondamentales – de gouvernabilité et d’observabilité avaient été occultées et, de ce fait, on pouvait croire que les trois types de représentation (fonction de transfert, équation différentielle, modèle d’état) correspondaient à une même connaissance du système.
Il n’en est pas toujours ainsi et la représentation d’état d’un système peut être d’un ordre supérieur à celui de la fonction de transfert, voire de l’équation différentielle. Quelle est l’origine de l’existence de ces modes ? Quelles conséquences en résulte-t-il ? Ce sont deux questions fondamentales en théorie, mais aussi très importantes en pratique, auxquelles on répondra en l’absence d’incertitudes dans un premier temps. Dans un deuxième temps, on reviendra sur le cas des systèmes linéaires incertains dont la représentation LFT a aussi été abordée dans l’article [S 7 130]. On étudiera comment, sur de tels systèmes, se généralise la notion de gouvernabilité.
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- Version archivée 1 de juin 2007 par André FOSSARD, Jean-Marc BIANNIC
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Cas des systèmes linéaires incertains
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4. Gouvernabilité et observabilité
4.1 Gouvernabilité
Par définition, un état xi , associé à un mode λi , est gouvernable, si, quelle que soit la condition initiale xi 0 imposée, il existe une commande u bornée permettant de transférer cet état, xi 0 à une condition finale xif , arbitraire, et ce dans un temps fini. Un système est gouvernable si tous les états le sont.
On note que, dans le cas des systèmes linéaires, on peut toujours supposer que xif = 0 mais aussi que la notion de gouvernabilité implique seulement l’existence d’une commande. Dans la pratique, on aura sur la commande des contraintes d’amplitude, d’énergie, si bien que la gouvernabilité doit être considérée comme une condition nécessaire mais pas toujours suffisante pour commander en pratique un système.
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Pour tester la gouvernabilité d’un système donné par son équation d’état, le critère le plus général est le critère de Kalman, rappelé ici pour un modèle échantillonné mais qui a la même forme dans le cas continu.
Soit le système :
( 13 )
Et supposons que l’on applique sur les intervalles de temps successifs les entrées U 0, U 1… Les états successifs atteints sont :
Le système est gouvernable si, partant de X 0, il existe une séquence...
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Gouvernabilité et observabilité
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BEMPORAD (A.), FERRARI-TRECATE (G.), MORARI (M.) - Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, Issue 10 – pp. 1864-1876 (October 2000).
-
(2) - CALLIER (F.M.) - Linear System Theory. - Ed. Springer (1991).
-
(3) - CORLESS (M.J.), FRAHZO (A.E.) - Linear Systems and Control. - Ed. Marcel Dekker (2003).
-
(4) - DOYLE (J.), PACKARD (A.), ZHOU (K.) - Review of LFTs, LMIs and µ. - In proceedings of the 30th Conference on Decision and Control, Brighton, England, December 1991.
-
(5) - FOSSARD (A.J.) - Représentation, observation et commande dans l’espace d’état. - Polycopié SUPAÉRO (1995).
-
(6) - GILBERT (E.G.) - Controllability...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
BIANNIC (J-M), DEMOURANT (F), FERRERES (G), HARDIER (G), ROOS (C). The SMAC Toolbox : a collection of libraries for Systems Modeling Analysis and Control, June 2016, online available at http://w3.onera.fr/smac/.
BIANNIC (J-M), ROOS (C), Generalized State Space : a new Matlab class to model uncertain and nonlinear systems as Linear Fractional Representations, February 2016, available with the SMAC toolbox at http://w3.onera.fr/smac/gss.
ROOS (C), BIANNIC (J-M), Robustness analysis by a μ-analysis based approach using the SMART library, February 2016, available with the SMAC toolbox at http://w3.onera.fr/smac/smart.
MATHWORKS – MATLAB and SIMULINK for technical computing – https://fr.mathworks.com/
MATHWORKS – CONTROL SYSTEM TOOLBOX – Design and analyze controllers for dynamic systems – https://fr.mathworks.com/products/control.html
MATHWORKS – ROBUST CONTROL TOOLBOX – Design robust controllers for uncertain plants – https://fr.mathworks.com/help/robust/
OCTAVE – A high-level language dedicated to numerical computations – http://www.gnu.org/software/octave/
SCILAB – A Free Scientific Software Package – http://www.scilab.org
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