Présentation
Auteur(s)
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André LALLEMAND : Ingénieur, Docteur ès sciences - Professeur des Universités à l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les fluides sont les systèmes thermodynamiques de base de l’énergéticien, que ce soit dans les machines — moteurs de tous types ou machines frigorifiques — ou dans les processus d’échanges ou de production de chaleur — échangeurs thermiques, chaudières, fours, etc. Il est, de ce fait, important de connaître les propriétés des fluides et, particulièrement, celle qui est spécifique à leur écoulement : la viscosité. Lorsque celle-ci est faible, on a l’habitude de la négliger, le fluide est alors considéré comme parfait. Dans le cas contraire, elle peut traduire des comportements fort différents d’un fluide à un autre. On distingue, de ce point de vue : les fluides newtoniens et les fluides non newtoniens. Pour les premiers, les forces de viscosité sont proportionnelles aux vitesses de déformations. La relation est plus complexe pour les seconds.
La vitesse de déformation est aussi un élément à prendre en compte dans la cinématique des fluides. En effet, alors que pour un solide le mouvement est composé d’une translation et d’une rotation, il faut ajouter la déformation dans le cas d’un liquide. Cette adjonction est responsable d’une certaine complexité de la cinématique des fluides vis-à-vis de celle des solides indéformables. Cette complexité est encore renforcée par les concepts soit lagrangien, soit eulérien du traitement des problèmes liés aux écoulements des fluides.
Il existe cependant un cas particulier d’écoulements dans lequel la cinématique devient plus simple, c’est celui des écoulements sans rotation, dits irrotationnels. Dans ces écoulements, dont le traitement mathématique est simplifié, la viscosité du fluide n’a plus d’effet. Cette conséquence les rend extrêmement intéressants sur le plan énergétique.
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- Version courante de juil. 2015 par André LALLEMAND
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Mouvement d’un élément de volume de fluide3. Cinématique de l’écoulement d’un fluide
3.1 Définitions
3.1.1 Variables de Lagrange. Variables d’Euler
En mécanique rationnelle, on analyse le mouvement d’un corps en étudiant, en particulier, sa position, sa vitesse, son accélération, en fonction du temps. On peut également, en mécanique des fluides, chercher à connaître la dynamique d’une particule (ou d’un ensemble de particules) bien précise (figure 7). On cherche alors, comme dans le cas de la mécanique du solide à donner la position de la particule considérée en fonction du temps t et de sa position à l’instant initial t0 ; cette position caractérisant la particule choisie. Si on note par xi 0 les coordonnées de cette position initiale, les quantités xi 0 , t0 et t constituent les variables de Lagrange. On a alors, par exemple :
La variation de xi 0 et t0 correspond au choix d’une autre particule et permet ainsi d’étudier le mouvement de l’ensemble des particules constituant le fluide. Pour une particule donnée, les xi 0 et t0 sont des constantes. En notant par vi les composantes de la vitesse v selon les axes xi , on a :
soit :
Les coordonnées de l’accélération...
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