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Auteur(s)
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Gérard BORELLO : Docteur ingénieur en acoustique - Gérant de la société InterAC
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L’analyse statistique énergétique des problèmes de dynamique entre systèmes vibratoires couplés (Statistical Energy Analysis SEA) est née au début des années 1960 des travaux de R.H. LYON et MAÏDANIK. Ces travaux répondaient à la nécessité de disposer d’outils prévisionnels analytiques pour le calcul des vibrations aléatoires des lanceurs civils et militaires, développés en parallèle par l’US Navy et l’US Air Force dans le contexte trouble de la Guerre Froide. En effet, les lanceurs et leurs charges utiles sont soumis au décollage et au cours du vol atmosphérique à de très fortes sollicitations dynamiques (bruit au décollage, rafales de vent, instabilité de combustion, chocs de séparation d’étage) qui peuvent endommager structures et équipement. Une panne de la centrale inertielle qui guide le véhicule peut se traduire par une perte de contrôle et entraîner sa destruction. Dans cette période pré-informatique, disposer de formules de calcul simples pour la prévision vibratoire était donc un objectif stratégique, permettant l’économie d’essais inutiles et la mise au point de spécifications robustes pour qualifier l’ensemble des équipements embarqués.
Ces objectifs sont de nos jours devenus civils et sont toujours d’actualité. Il est préférable de prévoir en début de projet l’environnement vibratoire résultant du mode opératoire d’une machine plutôt que d’en subir des conséquences imprévisibles nécessitant des modifications après-coup toujours coûteuses et souvent peu efficaces lorsque la conception est figée. C’est le secteur automobile qui porte aujourd’hui le développement des méthodologies prévisionnelles vibroacoustiques.
L’objectif affiché est le contrôle de l’environnement vibratoire dès le stade de la conception afin de réduire les étapes de prototypage et la durée des projets. L’analyse éléments finis est l’outil clé de ces développements mais malgré les progrès fulgurants de l’industrie informatique au cours des 20 dernières années, le calcul du bruit transmis dans l’habitacle d’une automobile ne peut toujours pas se résoudre sur tout le spectre audible par cette seule méthode.
La puissance de calcul est toujours limitée au regard de la taille des problèmes discrétisés. Par ailleurs, les lois physiques peuvent évoluer avec la fréquence, nécessitant des analyses éléments finis complexes et longues. C’est pour cela que l’analyse SEA, malgré ou grâce à ses hypothèses simplificatrices, a lentement mais sûrement, trouvé sa place dans la panoplie des méthodes de calcul de l’ingénieur acousticien. La SEA est particulièrement efficace pour effectuer un diagnostic vibratoire fiable ou pour établir des spécifications d’environnement acoustique dans un projet. Il faut néanmoins en maîtriser les hypothèses et les limites dont nous donnons un aperçu dans les pages qui suivent.
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- Version courante de juin 2012 par Gérard BORELLO
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Partitionnement, densités modales, lois de comportement2. Réponse de deux oscillateurs couplés et transfert de puissance
2.1 Équations d’équilibre en déplacement
On analyse maintenant le cas de deux oscillateurs couplés (figure 4). On suppose le couplage conservatif, c’est-à-dire n’induisant pas de dissipation d’énergie au niveau de la jonction. Le couplage peut s’effectuer par une raideur, une masse ou bien un coefficient de couplage gyroscopique. On introduit donc une raideur de couplage kc de même qu’une masse mc et un coefficient gyroscopique gc. Les déplacements des deux masses m1 et m2 sont respectivement x1(t ) et x2(t ). Les efforts d’excitation sur m1 et m2 sont aléatoires, ergodiques, stationnaires et non corrélés. Cette dernière condition se traduit par
. Par ailleurs, on supposera que les DSP de force sont deux constantes sur la bande d’intégration en fréquence.
Les équations de couplage des ddl x1(t ) et x2(t ) s’écrivent ainsi :
Introduisons les pulsations en paroi bloquée
.
Réécrivons le système d’équations précédent dans le domaine de Fourier. Il vient :
Posons
, il vient :
d’où :
...
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ANNEXES
1 Survol historique des développements méthodologiques
La SEA a suivi la voie tracée par l’acoustique des salles et l’analyse des vibrations aléatoires dans un travail de synthèse mené principalement par R.H. LYON et G. MAÏDANIK aux États-Unis, sous l’impulsion de l’industrie aérospatiale dans le courant des années 1960 et 1970. La méthode s’est répandue en Europe dans les années 1980 sous la double impulsion du travail des chercheurs (universités, centres techniques) et du programme civil de lanceur Ariane.
En parallèle le développement des analyseurs FFT permettait enfin d’accéder facilement aux grandeurs calculées par la SEA (autospectres, interspectres).
Au cours de cette même période, l’analyse éléments finis s’est progressivement imposée comme l’outil standard pour le calcul des environnements vibratoires dans toute l’industrie. Ce n’est en revanche qu’au début des années 1990 qu’est apparu le premier logiciel SEA commercial (AutoSEA développé par la société australienne VASL) qui a rapidement été adopté par la communauté des ingénieurs traitant des problématiques de vibrations aléatoires grâce à sa simplicité de mise en œuvre et à la robustesse initiale de ses formulations.
Un certain nombre de codes informatiques métier avaient vu le jour auparavant surtout dans le domaine aérospatial. On peut citer :
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VAPEPS développé dans les années 1970 par...
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