Filtrage linéaire
Traitement numérique du signal

Pourquoi faire du traitement numérique du signal ?

Le mot signal désigne le résultat de la mesure d’une grandeur physique. Sans restreindre en aucune façon notre discours, le résultat obtenu sera vu comme une fonction du temps. On dira alors que le signal est analogique ou à temps continu si la mesure est disponible de façon continue à tout instant et numérique à temps discret si elle n’est observée qu’à des instants discrets particuliers en général régulièrement espacés. Le traitement numérique du signal TNS consiste à traiter des signaux à temps discret. L’émergence du TNS est liée, comme pour de nombreux autres domaines, au perfectionnement des composants électroniques. Ce dernier a stimulé l’imagination des scientifiques et des futurologues, engendrant du même coup de nouveaux problèmes et besoins et, avec eux, la nécessité de disposer d’outils encore plus puissants. Les microprocesseurs, dédiés à l’origine aux traitements purement informatiques, ou à des fonctions simples de contrôle, sont désormais indispensables en TNS. Ils ont facilité la mise en place d’algorithmes qu’il aurait été bien difficile de mettre en œuvre autrement. Il suffit pour s’en convaincre de regarder du côté des applications grand public telles que télévision haute définition, radiodiffusion numérique, téléphonie mobile, applications multimedia, etc. Tous ces services nouveaux utilisent largement le traitement numérique du signal en mettant en œuvre des algorithmes parfois extrêmement complexes et nécessitant des puissances de calcul considérables.

Pour se limiter à quelques exemples, on peut citer pêle-mêle :

• la suppression du bruit de fond lors d’une transmission téléphonique à partir de l’habitacle d’une voiture ;

• le traitement du signal reçu en téléphonie mobile ;

• le codage de l’image et de la parole dans un système de visiophonie ;

• la reconnaissance et la synthèse de la parole ;

• la détection de défauts dans une pièce mécanique et la maintenance préventive ;

• la localisation par sonar des bancs de poissons ;

• l’évaluation par radar des position et vitesse d’une cible ;

• l’inversion de profil sismique pour la recherche pétrolière ;

• l’analyse des vibrations d’une plate-forme pétrolière ;

• l’analyse des signaux électro-encéphalographiques pour l’aide au diagnostic médical ;

• la réception d’informations délivrées par le système GPS de navigation par satellites ;

• la synthèse électronique de sons musicaux ;

• le traitement de signaux acoustiques provenant de plusieurs microphones, etc.

Ces problèmes sont loin d’être complètement résolus et font encore l’objet de recherches.

Au-delà de la complexité des problèmes qu’il permet d’aborder, le TNS autorise une grande souplesse dans la phase de mise au point. Les tests sont parfaitement reproductibles. On ne risque pas une dérive dans les caractéristiques des composants comme cela se passe dans les traitements analogiques. Est-ce à dire que ces derniers sont irrémédiablement condamnés ? En fait, même si leur part est en constante régression, elle ne risque pas de disparaître. Dans certains cas on ne peut s’en passer car les phénomènes observés sont trop rapides et, dans d’autres, ils s’imposent en raison de la simplicité même du traitement à effectuer. Ainsi, si un filtrage passe-bas de type RC suffit, un traitement numérique paraît quelque peu luxueux pour s’y substituer.

Nous ne parlerons pas ici du traitement numérique des images. Ses spécificités font de lui un thème le plus souvent exposé ou enseigné à part.

Après avoir décrit les signaux numériques (transformée de Fourier, théorie de l’échantillonnage) 1, dans le paragraphe 2 nous présentons les principales propriétés temporelles et spectrales des signaux déterministes à temps discret. Nous y étudierons en particulier la transformée de Fourier discrète qui est l’un des outils de base du TNS. Le paragraphe 3 est consacré aux propriétés des filtres linéaires, en particulier ceux décrits par une équation récurrente, et à une brève introduction aux méthodes de synthèse de filtres. Le paragraphe 4 est consacré aux signaux aléatoires. On y présente les signaux stationnaires au sens large et leur filtrage, ainsi que les chaînes de Markov. On conclut par quelques éléments d’estimation statistique. La dernière partie présente, pour illustrer ce qui précède, quelques problèmes pratiques de traitement : le changement de fréquence, l’estimation spectrale, l’algorithme de filtrage adaptatif du gradient stochastique.

De nombreuses propriétés sont énoncées sans donner les hypothèses de leur validité. Notre seule excuse est que, dans la majorité des cas rencontrés en pratique, ces hypothèses sont satisfaites. Les plus curieux pourront amplement se documenter en consultant l’abondante littérature existant dans le domaine.