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Auteur(s)
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Jean-Charles GILLE : Ancien élève de l’École Polytechnique (Paris) - Professeur à la Faculté des Sciences et de Génie de l’Université Laval (Québec, Canada)
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Lire l’articleINTRODUCTION
Écrire les équations différentielles qui régissent le fonctionnement d’un système physique (ensemble d’éléments) est une opération fondamentale, un préliminaire indispensable à toute étude quantitative. On n’en saurait trop souligner l’importance : d’une part, l’expérience montre que les erreurs commises en bureau d’étude proviennent plus souvent d’une écriture incorrecte des équations que d’une résolution erronée d’équations exactes ; d’autre part, la résolution d’équations différentielles peut être confiée à un ordinateur, mais aucune machine ne saura écrire les équations d’un système physique.
Tracer le diagramme fonctionnel d’un système physique est un exercice très instructif pour l’ingénieur : il s’agit, à partir de la description du système, de comprendre son fonctionnement, puis de l’exprimer sous la forme d’un diagramme fonctionnel, sur lequel apparaissent les variables intéressantes et les rapports entre les organes composants.
Une telle démarche met en jeu les quatre causes aristotéliciennes : causes matérielle, formelle, efficiente et finale.
– Pour comprendre le fonctionnement, on se demandera d’abord quelle est la cause finale, c’est-à-dire le but, la fonction de l’appareil. Cela permet d’identifier l’entrée (commande) et la sortie (l’appareil sert à maintenir celle-ci égale à celle-là).– On met alors en évidence la causalité formelle, c’est-à-dire la structure de fonctionnement du système, son organisation interne.– Il reste à exprimer l’intervention des deux dernières causes, en figurant les rectangles qui représentent les organes du système (causalité matérielle) et en les reliant par des flèches, qui expriment la causalité efficiente.
L’analyse d’un système consiste donc à évaluer le comportement d’une ou de plusieurs grandeurs intervenant dans le système sous l’effet d’un ou plusieurs signaux qui lui sont appliqués.
Nous allons présenter dans cet article les différents outils à la disposition de l’ingénieur, puis nous caractériserons les systèmes par un opérateur algébrique qui en contient toutes les propriétés : sa fonction de transfert.
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Représentation des systèmes. Fonction de transfert
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3. Transformées du signal
3.1 Transformée de Laplace d’un signal en temps continu
Le lecteur se reportera utilement, pour les bases mathématiques, aux références [3] [10] [26].
HAUT DE PAGE
La transformée de Laplace unilatérale d’une fonction f (t ) du temps est la fonction suivante du nombre complexe p (variable de Laplace ) :
( 12 )
On note :
-
Cette définition appelle plusieurs remarques importantes.
-
Elle suppose que l’intégrale converge pour t infini. Cela se produit si │exp (– pt )│ tend vers zéro plus rapidement que les éventuels termes croissants de f (t ) : de façon précise, si la partie réelle de p est supérieure à un certain seuil de définition ou de convergence γ , qui naturellement dépend de la fonction f (t ) 3.1.2.1 :
Re p > γ.
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L’intégrale néglige la portion non causale (t < 0) de f (t ). Donc deux fonctions identiques pour
![]()
ont la même transformée. Quand on cherche la transformée inverse d’une fonction F (p ) donnée, on n’en peut obtenir que les valeurs de t > 0, ses valeurs pour t < 0 demeurant arbitraires....
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ont la même transformée. Quand on cherche la transformée inverse d’une fonction F (p ) donnée, on n’en peut obtenir que les valeurs de t > 0, ses valeurs pour t < 0 demeurant arbitraires.
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