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Auteur(s)
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Jean-Charles GILLE : Ancien élève de l’École Polytechnique (Paris) - Professeur à la Faculté des Sciences et de Génie de l’Université Laval (Québec, Canada)
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Lire l’articleINTRODUCTION
Écrire les équations différentielles qui régissent le fonctionnement d’un système physique (ensemble d’éléments) est une opération fondamentale, un préliminaire indispensable à toute étude quantitative. On n’en saurait trop souligner l’importance : d’une part, l’expérience montre que les erreurs commises en bureau d’étude proviennent plus souvent d’une écriture incorrecte des équations que d’une résolution erronée d’équations exactes ; d’autre part, la résolution d’équations différentielles peut être confiée à un ordinateur, mais aucune machine ne saura écrire les équations d’un système physique.
Tracer le diagramme fonctionnel d’un système physique est un exercice très instructif pour l’ingénieur : il s’agit, à partir de la description du système, de comprendre son fonctionnement, puis de l’exprimer sous la forme d’un diagramme fonctionnel, sur lequel apparaissent les variables intéressantes et les rapports entre les organes composants.
Une telle démarche met en jeu les quatre causes aristotéliciennes : causes matérielle, formelle, efficiente et finale.
– Pour comprendre le fonctionnement, on se demandera d’abord quelle est la cause finale, c’est-à-dire le but, la fonction de l’appareil. Cela permet d’identifier l’entrée (commande) et la sortie (l’appareil sert à maintenir celle-ci égale à celle-là).– On met alors en évidence la causalité formelle, c’est-à-dire la structure de fonctionnement du système, son organisation interne.– Il reste à exprimer l’intervention des deux dernières causes, en figurant les rectangles qui représentent les organes du système (causalité matérielle) et en les reliant par des flèches, qui expriment la causalité efficiente.
L’analyse d’un système consiste donc à évaluer le comportement d’une ou de plusieurs grandeurs intervenant dans le système sous l’effet d’un ou plusieurs signaux qui lui sont appliqués.
Nous allons présenter dans cet article les différents outils à la disposition de l’ingénieur, puis nous caractériserons les systèmes par un opérateur algébrique qui en contient toutes les propriétés : sa fonction de transfert.
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Notion de système
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4. Représentation des systèmes. Fonction de transfert
Soit un signal en temps continu h (t ) ou en temps discret h (k ). Pour fixer les idées, nous supposerons que c’est la réponse impulsionnelle d’un système linéaire de fonction de transfert H (p ) ou H (z ). On le caractérise habituellement par sa transformée de Laplace ou en z, soit graphiquement (courbes et lieux de réponse en fréquences, § 4.1, 4.2 et 4.3), soit algébriquement (disposition des pôles et des zéros, § 4.4).
4.1 Représentation graphique : réponse en fréquences
On présente H (p) en représentant le nombre complexe [relations [20] et [24]] :
soit en traçant séparément les courbes de son module et de son argument, soit en construisant le lieu géométrique du point d’affixe H (j ω). Rappelons que H (j ω) est le spectre de Fourier de h (t ) lorsque tous les pôles de H (p ) ont leur partie réelle négative 3.2.2...
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