Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants. Sont détaillés ainsi les différents types de représentation qui leur sont rattachés, la représentation classique puis plus spécifiquement la représentation d’état (variables, pluralité, matrice de transition). Grâce au fort développement des moyens logiciels, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Sa capacité à se généraliser la distingue aisément des représentations fréquentielles.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
-
Jean-Marc BIANNIC : Ingénieur de recherches à l’ONERA - Professeur à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une version révisée du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé : « Représentation d’un système ». Nous en conservons ici la plupart des éléments en apportant toutefois quelques modifications à sa structure initiale. Parmi les compléments significatifs que nous avons jugé utile d’apporter, il faut noter dans cette nouvelle version :
-
un paragraphe dédié à la représentation des systèmes complexes structurés en sous-systèmes ;
-
un paragraphe dédié aux aspects logiciels.
Enfin la conclusion est largement modifiée et introduit le lecteur au formalisme LFT dont la représentation d’état – développée dans ce dossier – peut être vue comme un cas particulier.
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VERSIONS
- Version courante de janv. 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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Présentation
Passage d’une représentation entrée-sortie à une représentation d’état. Formes canoniques3. Intégration des équations d’état
3.1 Matrice de transition
À ce niveau, nous pouvons rester dans le cadre des systèmes linéaires variants définis par les équations [3]. Nous appellerons matrice de transition la matrice Φ(t, t0) solution de l’équation homogène :
qui vérifie :
Cette matrice est unique et non singulière si les éléments de A sont des fonctions continues du temps.
Si l’on considère le système [3] avec entrées nulles (homogène), c’est-à-dire :
sa solution est alors donnée par :
d’où l’appellation de matrice de transition qui fait passer de X0 à X(t). Il nous faut maintenant chercher la solution de :
( 6 )
que nous allons essayer d’identifier sous la forme :
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Intégration des équations d’état
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état - . Eyrolles, 2ème éd. (1990).
-
(2) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs. - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A.J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie - . 1995. ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7.
-
(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System - – Prentice Hall, 10th edition (2004).
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(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus - – Cours avec applications utilisant MATLAB – Ellipses (2001).
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