Présentation générale de la méthode des éléments finis

Pour résoudre numériquement une EDP, on utilise très souvent dans l’industrie la méthode des éléments finis. Cette méthode nécessite une transformation du problème à résoudre en un problème équivalent. Cette phase correspond à la mise sous forme variationnelle du problème d’EDP. Dans cette dernière formulation, le problème est posé dans un espace de dimension infinie. La méthode des éléments finis consiste à poser un problème analogue en dimension finie, à partir d’une « triangulation » du domaine Ω où est définie l’EDP, ce qui nécessite la définition de fonctions de base dont le choix est tel que la matrice de discrétisation est la plus creuse possible (cf. les articles Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis et Introduction à la méthode des éléments finis

Dans cet article, on montre comment construire les fonctions de base associées à une « triangulation » quelconque du domaine considéré. On commence par donner les expressions des fonctions de base associées à des triangles quelconques et à des carrés puis on montre l’invariance de ces fonctions lorsqu’on utilise une transformation affine, ce qui permet de déterminer aisément la matrice de discrétisation du problème. Pour terminer, on donne quelques résultats sur la majoration d’erreur, ainsi que des indications concernant l’utilisation de formules de quadratures numériques lors de la mise en œuvre de la méthode des éléments finis.

Cet article est le troisième et dernier volet de l’ensemble de trois articles traitant de la méthode des éléments finis :

• [AF 503] Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis ;

• [AF 504] Introduction à la méthode des éléments finis ;

• [AF 505] Présentation générale de la méthode des éléments finis.

Pour des compléments sur cette notion générale d’éléments finis, le lecteur pourra consulter en bibliographie les références [5] à [18].