Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires

L’observation d’un phénomène conduit toujours le scientifique à une modélisation qui s’accompagne elle‐même d’une mise en équation du problème étudié ; très souvent, les modèles obtenus sont constitués par des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles (EDP) ; malheureusement, les méthodes analytiques de résolution de ce type de problèmes mathématiques ne s’appliquent qu’à une classe très limitée d’équations. À l’aide d’hypothèses simplificatrices, plus ou moins justifiées suivant la valeur des paramètres intervenant dans le modèle, le scientifique se ramène à un type de problèmes qu’il sait résoudre, de manière formelle ; ainsi utilise‐t‐il des modèles très simplifiés pour représenter les phénomènes observés qui sont souvent complexes.

La plupart du temps, les solutions des équations simplifiées ne représentent le phénomène que dans le domaine où les hypothèses simplificatrices ont un sens ; par contre, lorsque les valeurs des paramètres ne rentrent pas dans ce cadre, la solution obtenue n’a pas toujours un grand rapport avec l’observation. Pour avoir une approche plus fine du phénomène étudié, il faut donc prendre en compte dans les équations les termes qui rendent impossible la résolution analytique du problème. On se trouve donc dans une impasse et il faut trouver un compromis permettant à la fois de représenter les observations le plus exactement possible et de résoudre les équations décrivant le régime de fonctionnement du phénomène.

Cependant, avant d’envisager la résolution du problème d’équations aux dérivées partielles, il convient d’effectuer une étude analytique des équations intervenant dans le modèle ; à ce stade, le scientifique doit se poser des questions sur l’existence, l’unicité de la(des) solution(s), la sensibilité de la(des) solution(s) aux perturbations, la croissance ou la décroissance des solutions en fonction du temps, l’existence de points de bifurcation, etc., ce qui conduit à la résolution de problèmes mathématiques extrêmement complexes, qui cependant sont des éléments de validation de modèles mathématiques élaborés par le scientifique.

Par ailleurs les récents progrès du calcul automatique ont permis la mise en œuvre de méthodes de calcul qu’il n’était pas concevable d’envisager auparavant. Ces méthodes numériques ont permis notamment :

• la possibilité d’effectuer une grande quantité de calculs dans des temps très brefs ;

• la prise en compte de non‐linéarité dans toutes sortes d’équations ainsi que la résolution de ces dernières.

Cependant, il faut bien être conscient que la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles conduit à l’obtention d’une solution approchée. En effet, comme on le verra ultérieurement, le principe des méthodes numériques repose sur l’approximation du problème continu initial par un système discret d’équations algébriques linéaires ou non linéaires (selon la nature du problème initial) de grande dimension. La résolution de ce système défini dans un espace de dimension finie nécessite d’effectuer :

• une analyse d’erreur systématique, compte tenu de la construction des schémas d’approximation et permettant de situer la proximité de la solution approchée par rapport à la solution exacte du problème initial ;

• une analyse de la stabilité des schémas numériques, compte tenu de l’influence possible de l’accumulation d’une part des erreurs systématiques inhérentes aux procédés d’approximation et d’autre part des erreurs d’arrondi (ou de chute) ou de troncature dues à la mauvaise représentation des nombres réels en machines, et dont l’effet peut être de provoquer une perte importante de précision et de dénaturer complètement les résultats obtenus ; cette phase est l’analogue discret de l’étude de la sensibilité des solutions aux perturbations, évoquée ci‐dessus ;

• des recherches d’algorithmes numériques performants, en liaison avec la grande taille des systèmes à inverser, algorithmes s’exécutant très rapidement ;

• des procédés de parallélisation efficaces sur machines multiprocesseurs des algorithmes numériques de résolution, parallélisation destinée à réduire le temps de restitution d’un travail informatique.

Dans cet article, nous abordons l’étude et la discrétisation par la méthode des différences finies d’équations aux dérivées partielles stationnaires constituées par des opérateurs elliptiques . Nous considérerons essentiellement le problème de Poisson avec conditions aux limites de Dirichlet homogènes ; nous montrerons comment la technique de discrétisation peut être étendue à des situations distinctes concernant soit des opérateurs aux dérivées partielles, comme le problème de convection‐diffusion par exemple, soit des conditions aux limites différentes comme les conditions aux limites de Neumann, les conditions aux limites de Fourier (dénommées encore conditions de Robin ou conditions aux limites mixtes), les conditions aux limites mêlées de Dirichlet- Neumann et les conditions aux limites périodiques. Par ailleurs, on verra que la discrétisation d’équations aux dérivées partielles stationnaires conduit à la résolution d’un système algébrique linéaire de grande dimension ; la question essentielle est d’établir rapidement et en faisant le minimum de calculs, la régularité (c’est‐à‐dire l’inversibilité) de la matrice associée à ce système linéaire. À ce sujet, nous dégagerons les propriétés générales vérifiées par ces matrices, ce qui nous permettra d’exhiber des critères systématiques de régularité des matrices issues de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles stationnaires. On insistera également sur les difficultés numériques de résolution des systèmes algébriques issus de la discrétisation par la méthode des différences finies d’équations aux dérivées partielles stationnaires. Les propriétés des matrices de discrétisation nous permettront de donner des résultats généraux de majoration de la norme de l’erreur obtenue en comparant la solution exacte et la solution approchée issue du schéma numérique.

Il convient de noter que cette étude préalable concernant la discrétisation par la méthode des différences finies d’équations aux dérivées partielles stationnaires sera utilisée dans l’article suivant [AF 501] lorsque nous aborderons la discrétisation par la méthode des différences finies d’équations aux dérivées partielles d’évolution. Par ailleurs, la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles conduisant à la résolution de systèmes linéaires creux de grande dimension, on donne dans l’article Algorithmes numériques pour la résolution des grands systèmes quelques algorithmes classiques et bien adaptés à la résolution de ce type de système linéaire.