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RÉSUMÉ
La turbulence est un phénomène physique tellement complexe qu’à ce jour encore aucun modèle ne parvient à le mimer de manière satisfaisante, et ce même avec les performances actuelles de l’informatique. Cet article livre les fondements de la théorie de la turbulence et l’application des ondelettes à la dynamique des fluides. Il s’attarde sur l’exemple d’un écoulement bidimensionnel dans un canal perturbé par une rangée horizontale d’obstacles circulaires, traité à travers deux simulations numériques.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Patrick FISCHER : Docteur en mathématiques - Maître de conférences - Laboratoire de mathématiques appliquées de Bordeaux - Université de Bordeaux I
INTRODUCTION
Le problème de la turbulence, et en particulier celui de la modélisation de la trainée d’un objet à travers un fluide (liquide ou gazeux), a occupé et fasciné des générations de scientifiques, de Léonard De Vinci au 16e siècle (figure 1) à nos jours. Des enjeux scientifiques, tels que la prédiction météorologique ou les changements climatiques par exemple, ainsi qu’économiques comme la conception de profils de voitures, d’avions ou de navires, reposent sur une meilleure compréhension des phénomènes turbulents. Malgré des années de recherche, aucune théorie complète de la turbulence n’a pu être développée.
L’application des ondelettes à la dynamique des fluides a fait l’objet de nombreuses publications depuis 1992 . L’idée principale développée dans ces publications est que le champ de vorticité d’un flot turbulent peut facilement être décomposé en parties cohérentes et incohérentes grâce à une décomposition en ondelettes orthogonales. La partie cohérente, correspondant aux coefficients en ondelettes les plus grands, est en fait composée des tourbillons, et la partie « incohérente », correspondant aux coefficients en ondelettes les plus petits, représente le reste de l’écoulement. Il n’existe cependant pas de définition bien établie de ce qui est cohérent et incohérent. Ainsi, pour certains auteurs, la séparation repose sur le caractère gaussien ou non de la PDF (fonction de densité de probabilités) : partie cohérente non gaussienne, et partie incohérente gaussienne. Cependant, dans une telle séparation, les filaments de vorticité, bien visibles dans le champ du même nom, se retrouvent partiellement dans la partie cohérente, et dans la partie incohérente. Pour d’autres, dont l’auteur de ce texte, les tourbillons et les filaments de vorticité possèdent une certaine cohérence.
Ce dossier propose de donner au lecteur les connaissances de base sur la théorie de la turbulence, ainsi que sur celle des ondelettes, lui permettant ainsi d’appréhender la complexité des phénomènes turbulents et d’utiliser les derniers outils mathématiques développés pour comprendre ces phénomènes.
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Ondelettes et paquets d’ondelettes
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1. Modèle de la turbulence
Le niveau de turbulence d’un fluide peut se définir à l’aide du nombre de Reynolds :
avec :
- L :
- échelle caractéristique (diamètre d’un obstacle, par exemple)
- U :
- vitesse caractéristique (souvent la vitesse moyenne du fluide)
- ν :
- viscosité cinématique.
Plus ce nombre est grand, et plus le fluide est turbulent.
Pour une géométrie fixée, un fluide peut être rendu turbulent soit en augmentant sa vitesse (et en gardant sa viscosité constante), soit en diminuant sa viscosité (à vitesse constante). Le cas idéal d’un fluide homogène (invariance par translation), isotrope (invariance par rotation), incompressible mais avec un grand nombre de Reynolds n’est pas complètement compris. Notamment, la détermination des transferts d’énergie à travers les différentes échelles du fluide à partir des équations du mouvement, les équations de Navier-Stokes, reste un défi actuel.
1.1 Équations de Navier-Stokes
L’homogénéité d’un fluide implique que ses propriétés statistiques sont indépendantes de la variable d’espace x : il ne peut donc pas y avoir de « murs » et le domaine spatial doit être infini. Nous devrions supposer que le fluide remplit tout l’espace
. Cependant pour des raisons de simplifications mathématiques, nous pouvons tout aussi bien considérer un domaine borné muni de conditions spatiales périodiques.
1.1.1 Équations sur la vitesse
Soit u ( x , t) le champ de vitesse du fluide, ρ( x...
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