Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
Auteur(s)
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Béatrice PESQUET-POPESCU : Ingénieur de l’Institut Polytechnique de Bucarest - Docteur de l’École Normale Supérieure de Cachan - Maître de conférences à l’École Nationale Supérieure des Télécommunications de Paris
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Jean-Christophe PESQUET : Ingénieur de l’École Supérieure d’Électricité - Docteur de l’Université de Paris-Sud - Professeur à l’Université de Marne-la-Vallée - Chercheur au Laboratoire des Signaux et Systèmes (CNRS - Supélec) à Gif-sur-Yvette
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Lire l’articleINTRODUCTION
Quand on cherche à analyser un signal, il est très fréquent qu’on établisse, de manière explicite ou implicite, une représentation temps-fréquence de ce signal. L’image qu’on peut avoir d’une telle opération est celle de la transcription d’une partition de musique, qui indique au musicien les notes (donc l’information fréquentielle) qu’il doit produire à un moment donné. La transformée de Fourier n’est pas l’outil approprié pour mener cette analyse puisqu’elle masque l’évolution temporelle du signal. Par contre, comme nous le montrerons, la transformée en ondelettes et ses extensions fournissent des solutions intéressantes dans ce contexte.
Les ondelettes sont issues de l’intuition d’un ingénieur en géophysique, J. Morlet, dans les années 1980. Sous l’impulsion de personnalités scientifiques telles que le physicien A. Grossman [39] ou le mathématicien Y. Meyer [55], les ondelettes se sont imposées comme des outils fondamentaux de l’analyse harmonique moderne.
D’un point de vue applicatif, les ondelettes ont eu une influence importante dans divers domaines : physique, analyse numérique (par exemple, pour la résolution d’équations aux dérivées partielles), statistiques, traitement du signal et des images, vision par ordinateur...
Dans le contexte de traitement du signal dans lequel nous nous placerons, le lien existant entre les décompositions en ondelettes et des outils plus traditionnels que sont les bancs de filtres, confère une certaine légitimité à ces transformations. Les bancs de filtres considérés agissent en divisant le spectre des signaux de manière logarithmique et constituent ainsi d’assez bonnes approximations du mode de fonctionnement des systèmes perceptuels visuel ou auditif humains. Les ondelettes et les techniques multirésolution ont connu un grand succès en traitement d’images pour des problèmes tels que l’estimation de mouvement, la reconnaissance de formes, la recherche dans des bases de données et la transmission progressive d’informations. La propriété essentielle qui est exploitée dans ces applications est la possibilité d’approximer les images à plusieurs échelles, en partant d’une vue « grossière » qu’on vient affiner au cours de traitement successifs.
Dans la suite de cet article, nous présenterons les différentes formes de transformations en ondelettes existant. De façon schématique, on peut en distinguer trois types :
-
des représentations très redondantes (transformations continues en ondelettes) ;
-
des décompositions parcimonieuses (bases d’ondelettes orthogonales ou biorthogonales, paquets d’ondelettes...) ;
-
des solutions intermédiaires (trames d’ondelettes).
Nous indiquerons brièvement comment ces concepts s’étendent aux images et aux données multidimensionnelles. Enfin, nous présenterons quelques applications parmi celles qui nous paraissent les plus significatives.
Notons que les ondelettes font parfois appel à des notions mathématiques avancées et que nous essaierons, tout au long de notre exposé, de contourner les points les plus épineux, au risque de parfois manquer de précision.
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Bases d’ondelettes multidimensionnelles
En anglais
4. Trames d’ondelettes
La transformée continue en ondelettes [3], de même que la transformée de Fourier à court terme [2], sont des représentations qui ne sont pas « économiques », en ce sens que, partant d’un signal monodimensionnel, on arrive à une fonction de deux variables réelles. On dit que ces représentations sont très redondantes. De plus, l’implantation sur ordinateur des algorithmes d’analyse et de synthèse à l’aide de ces transformations nécessite, à un moment donné, l’échantillonnage du signal. Cela constitue un argument pour travailler dès le début avec des décompositions discrètes. À l’autre extrême, se situent les décompositions sur des bases d’ondelettes qui sont non redondantes, mais qui présentent des inconvénients dans un certain nombre d’applications. Par exemple, en reconnaissance de formes, il est important que la représentation d’un objet ne varie pas en fonction de sa position. En translatant le signal, on souhaiterait donc que les coefficients d’ondelettes ne subissent qu’un effet de translation. Cette propriété d’invariance par translation n’est malheureusement pas vérifiée pour les décompositions sur des bases d’ondelettes.
Un compromis entre ces deux analyses est obtenu à l’aide de décompositions discrètes redondantes sur des trames d’ondelettes (frames en anglais). Ces trames sont des familles de fonctions
{ψj, k (t ), (j, k) Î I }
où I est un sous-ensemble de
. Le signal s’écrit comme une combinaison linéaire des éléments de la trame, mais on n’impose plus la condition que ces fonctions forment une base. La seule condition requise est l’existence de deux constantes réelles strictement positives, A et B, appelées bornes de la...
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Trames d’ondelettes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ABRAMOVICH (F.), SAPATINAS (T.), SILVERMAN (B.W.) - Wavelet thresholding via a bayesian approach. - J.R. Statist. Soc. B, 60, p. 725-749, 1998.
-
(2) - ABRY (P.) - Ondelettes et Turbulences. Multirésolutions, algorithmes de décompositions, invariance d’échelle et signaux de pression. - Diderot, Éditeurs des Sciences et des Arts, Paris, 1997.
-
(3) - ABRY (P.), VEITCH (D.) - Wavelet analysis of long-range-dependent traffic. - IEEE Trans. Informat. Theory, 44, p. 2-15, janv. 1998.
-
(4) - ANTONIADIS (A.), GIJBELS (I.), GRÉGOIRE (G.) - Model selection using wavelet decomposition and applications. - Technical Report Discussion paper, Institute of Statistics, Université Catholique de Louvain, Belgium, 1996. To appear in Biometrika.
-
(5) - ANTONINI (M.), BARLAUD (M.), MATHIEU (P.), DAUBECHIES (I.) - Image coding using wavelet transform. - IEEE Trans. Image Processing, 1(2), p. 205-220, avr. 1992.
-
...
ANNEXES
Dans les Techniques de l’Ingénieur, traité Télécoms
BALESTRA (G.) - Signal vidéo numérique. - TE 5 330 (2001).
GUILLOIS (J.-P.) - Compression de données. Compression d’images. - E 5 340 (1998)
FERT (E.) - JEANNIN (S.) - Compression MPEG-1 à MPEG-4. - TE 5 360 (2000)
HAUT DE PAGE
De nombreux logiciels existent qui rendent maintenant aisée la mise en œuvre d’une transformation en ondelettes. La plupart de ces produits s’intègrent dans des progiciels plus importants (MATLAB, Mathematica...) destinés au calcul numérique ou symbolique. Par ailleurs, ces programmes sont généralement disponibles sur différents systèmes (Unix/Linux, Windows, Macintosh).
Parmi les logiciels commerciaux, mentionnons la Wavelet Toolbox, une boîte à outils MATLAB ( http://www.mathworks.com) et Wavelet Explorer, un « package » de Mathematica ( http://store.wolfram.com). Ces ensembles de routines permettent l’analyse et la synthèse de signaux et images à l’aide d’ondelettes. Ils offrent également des fonctionnalités pour le débruitage et la compression de données.
Des logiciels gratuits de bonne qualité sont aussi mis à la disposition du public. En particulier, WaveLab est une bibliothèque très complète de fonctions MATLAB écrites à l’université de Stanford ( http://www-stat.stanford.edu/~wavelab).
XWPL est un utilitaire X-Windoxs conçu à l’université de Yale...
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