Exemple d'application : débruitage, problème inverse
Méthodes mathématiques pour le traitement des signaux et des images

Le traitement du signal est la discipline qui consiste à développer et étudier des méthodes d'analyse, d'interprétation et de transformation des signaux, un signal pouvant être défini comme un support d'information à peu près quelconque (comme par exemple une suite de nombres, un courant électrique, une séquence ADN, ou encore une image ou une séquence vidéo…). Le traitement du signal fait appel à de nombreuses branches des mathématiques appliquées (notamment l'analyse, la théorie de l'approximation, les probabilités et statistiques, la théorie de l'information…) et maintenant même des mathématiques pures (géométrie, théorie des nombres…). Les signaux se présentent essentiellement sous deux formes : les signaux analogiques qui sont le résultat d'un processus de mesure physique (ou autre), ou obtenus par « conversion numérique  $\mapsto$  analogique », et les signaux numériques stockés sur ordinateur ou un support numérique quelconque, ou produits par une « conversion analogique  $\mapsto$  numérique ». Cette dernière opération, qui est l'une des plus fondamentales des opérations du traitement du signal, porte également le nom d'échantillonnage.

Le traitement du signal recouvre un grand nombre de problématiques, qui vont de l'analyse exploratoire des signaux à des tâches plus complexes comme le débruitage et la restauration de signaux dégradés, le codage et la compression des signaux, images et vidéo, l'estimation de modèles et de paramètres, la détection d'évènements spécifiques dans les signaux et les images… De plus, le cadre applicatif dans lequel ces problèmes sont posés impose souvent de sévères contraintes (causalité, charge de calcul, format des signaux…) qui nécessitent une adaptation du traitement.

Ce dossier décrit un échantillon assez large de méthodes et algorithmes de traitement des signaux et des images, en insistant sur les fondements mathématiques et les algorithmes. La première partie se focalise sur le premier point essentiel, à savoir le problème de la représentation des signaux. Dans ce contexte, l'analyse de Fourier et plus généralement l'analyse mathématique jouent un rôle central. On y discute également l'un des outils essentiels du traitement du signal, à savoir le filtrage de convolution, ainsi que la problématique de l'échantillonnage. Les signaux pouvant être décrits comme des objets soit déterministes, soit aléatoires, un certain nombre de modèles probabilistes sont également discutés en détails, et les notions abordées dans le cadre déterministe sont revisitées dans le cadre des signaux aléatoires.

La deuxième partie de ce dossier est consacrée à quelques problèmes spécifiques d'analyse et traitement des signaux, qui sont traités en exploitant les outils mathématiques décrits dans la première partie. Plus spécifiquement, les problèmes d'analyse et estimation, de codage et compression, et de débruitage sont abordés. La dernière section est quant à elle consacrée à une courte discussion de développements très récents, basés sur un nouveau paradigme, la notion de parcimonie. Certains aspects plus mathématiques ou techniques sont développés dans des annexes.

Le traitement du signal étant une discipline extrêmement vaste, il était impossible d'en couvrir tous les aspects dans un article de ce format. Le lecteur intéressé à approfondir certains aspects peu (ou pas du tout) traités ici est invité à se référer à quelques ouvrages de référence tels que par exemple    ou des documents disponibles en ligne (voir la rubrique Sites Internet du Pour en savoir plus).