Représentation mathématique de base
Mathématiques pour le traitement et l'analyse des images à tons de gris

La place importante des images dans le monde moderne est indéniable. Elles sont en premier lieu intimement intégrées à notre vie organique (la perception visuelle est particulièrement développée chez l'être humain). Elles interviennent fréquemment dans notre vie quotidienne (jeux vidéos, magazines, téléphone, télévision…), personnelle (imagerie médicale, imagerie biologique, photographies…), professionnelle (bureautique, télésurveillance, visioconférences, vision industrielle…), etc. Elles ne se cantonnent pas aux divers secteurs technologiques, mais elles sont vectrices d'observations et d'investigations de la matière à très petites échelles (microscopes électroniques, microscopes à champ proche…) ou de l'univers à très grandes échelles (télescopes, sondes spatiales…) conduisant parfois des découvertes scientifiques majeures.

Le champ couvert par le traitement et l'analyse d'image est large et multidisciplinaire. Il désigne l'ensemble des théories, méthodes, techniques, dispositifs, équipements, applications, logiciels… relatifs aux images permettant d'obtenir des informations et des connaissances qualitatives et/ou quantitatives afin d'investiguer, de mesurer, de comprendre, d'interpréter et finalement de décider. Les disciplines scientifiques et techniques qui le concernent ou qui l'utilisent sont nombreuses : optique, informatique, physique, électronique, robotique, neurologie, médecine, biologie, psychologie, géologie, astronomie… et bien entendu les mathématiques, avec leurs forces et leurs limitations.

Les mathématiques ont ainsi une place déterminante à tenir puisque les images à valeurs radiométriques vont être considérées comme des fonctions numériques définies spatialement sur des pixels et ayant comme valeurs des intensités appelées tons de gris. Les mathématiques appliquées bien entendu (comme l'analyse numérique ou l'analyse matricielle, puisque les images en tons de gris sont souvent numériques, c'est-à-dire digitales en franglais, et codées sous forme de matrices dans les logiciels d'imagerie numérique), mais aussi de manière a priori moins évidente les mathématiques dites fondamentales ou « pures ». L'algèbre qui fournit les notions pour la définition des opérations de base (addition et soustraction de deux images : que faire sans ces deux opérations ?) ou la topologie, discipline mathématique théorique par excellence, qui est indispensable pour bien définir ce qu'est une région connexe et pour pouvoir définir un contour). Le calcul différentiel (pour l'étude des variations locales d'une image) et le calcul intégral (pour l'étude des comportements moyens d'une image) sont deux piliers solides en traitement d'image, permettant la mise en place des opérateurs différentiels (gradient, laplacien pour la détection de transitions) et intégraux (transformations de Fourier et en ondelettes pour l'analyse fréquentielle et multiéchelle). C'est plus généralement l'analyse fonctionnelle dont il est question puisque les images à traiter et à analyser sont représentées dans des espaces de fonctions. Le calcul des variations permet de formaliser certains problèmes de restauration et de segmentation d'images. Enfin, la théorie des probabilités revêt un grand intérêt pour bien modéliser les aspects aléatoires, aussi bien des structures spatiales à analyser, que des phénomènes non souhaités (bruits, dégradations…).