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Auteur(s)
-
Jacques PRADO : Maître de conférences à l’École nationale supérieure des télécommunications (ENST)
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La période ou la fréquence d’échantillonnage est un élément essentiel dans de nombreux traitements numériques des signaux. Elle détermine souvent l’efficacité et la précision avec laquelle un traitement pourra être effectué, dans certains cas on aura besoin de la changer afin d’obtenir des algorithmes dépendant de la bande de fréquence à analyser, dans d’autres cas il s’agira simplement de passer d’un standard à un autre (passage de 44,1 kHz à 32 ou 48 kHz en audio). On trouvera des applications en communication, en traitement de parole, en traitement d’antennes, etc.
La transformation d’un signal donne une nouvelle représentation de ce signal. Le but recherché est souvent d’obtenir une meilleure localisation ou représentation de l’information contenue dans le signal, le qualificatif meilleure étant mesuré selon un critère qui reste à définir.
L’exemple élémentaire de transformation est la transformée de Fourier discrète qui à une séquence de longueur N associe une séquence de même longueur. Une telle transformation est dite sans perte ou orthogonale et est représentable par une matrice unitaire c’est-à-dire dont l’inverse est la matrice transposée conjuguée.
Dans beaucoup d’applications il peut être intéressant de séparer le signal d’entrée en plusieurs composantes en sous-bandes. Ceci permet en effet de situer la ou les bandes de fréquence où l’on peut trouver l’information. Une utilisation possible est la compression en vue de diminuer la quantité d’information à transmettre et qui consiste à ne prendre en compte que les bandes de fréquences dans lesquelles l’énergie est supérieure à un certain seuil. La transformée de Fourier discrète est un exemple, mais il est possible d’envisager un traitement équivalent à l’aide d’un ensemble de filtres passe-bande.
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3. Relations banc de filtres-ondelettes
L’analyse par ondelettes est aussi l’analyse multirésolution ou représentation temps-échelle des signaux, c’est l’équivalent de l’analyse temps-fréquence de la transformée de Fourier à court terme ou d’autres transformations telle que Gabor ou Wigner-Ville. La transformée en ondelette continue (TOC) a été introduite par Goupillaud, Grossman et Morlet . Elle est définie par :
wa, b(t ) est l’ondelette correspondant à l’échelle a et à la posi- tion b donnée par :
ω (t ) est l’ondelette mère, a et b sont des paramètres qui varient continûment.
Il est possible de discrétiser les paramètres temps-échelle (a, b ) (les deux ou l’un des deux). On obtient les séries d’ondelettes (SO) correspondant à une discrétisation des paramètres temps-échelle sur une grille dyadique :
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Relations banc de filtres-ondelettes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - CROCHIERE (R.), RABINER (L.) - Multirate Digital Signal Processing. - Prentice Hall (1983).
-
(2) - VAIDYANATHAN (P.P.) - Multirate Systems and Filter Banks. - Prentice Hall (1993).
-
(3) - LU HUA XU (W.-S.), ANTONIOU (A.) - An improved method for the design of FIR quadrature mirror-image filter banks. - IEEE Trans. Signal Processing, 46 (5), p. 1275-1281, mai 1998.
-
(4) - LU HUA XU (W.-S.), ANTONIOU (A.) - Design of perfect reconstruction QMF banks by a null space projection method - (1995).
-
(5) - LU HUA XU (W.-S.), ANTONIOU (A.) - Efficient iterative design method for cosine-modulated QMF banks. - IEEE Trans. Signal Processing, 44 (7), p. 1657-1668, juil 1996.
-
(6) - KOLPILLAI (R.D.), VAIDYANATHAN (P.P.) - Cosine-modulated QMF banks satisfying perfect reconstruction. - IEEE Trans. Signal Processing, 40, p. 770-783...
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