Transformation de Wigner et fonction d’ambiguïté
Analyses temps-fréquence linéaires et quadratiques

L’objet du traitement du signal est l’étude, la conception et la réalisation de systèmes d’exploitation des signaux, un signal étant un modèle de représentation d’un phénomène évoluant dans le temps, l’espace... et ayant pour vocation de transporter de l’information. La théorie du signal, quant à elle, concerne l’élaboration de ces modèles et y adjoint l’étude des différents outils d’analyse qui leur sont applicables. Un grand nombre de phénomènes ou de dispositifs physiques produisent des signaux : synthétiseur de parole, antennes radar et sonar, appareil photographique, émetteur de télévision, capteur à l’interface d’un milieu physique et d’un système de mesure, cotation boursière des actions...

Les grandes catégories de signaux sont définies par des caractères liés au support (domaine de variation des variables), à l’ensemble de valeurs et au mode de génération du signal. Dans tout cet article, on se limite à l’étude des signaux déterministes, à temps continu (ou permanents), scalaires réels ou complexes, univariables, temporels ; les versions discrètes et échantillonnées des différentes transformées présentées sont fournies à titre d’information et en vue d’une éventuelle implantation sur ordinateur.

Une méthode classique d’analyse d’un signal déterministe consiste à lui associer une transformée particulière de sa représentation initiale. On utilise habituellement, pour les quantités satisfaisant au principe de superposition, et selon le besoin ou la nature du signal, une des diverses formes des transformations fonctionnelles de Fourier, de Laplace, ou en z. La représentation obtenue est constituée par les coefficients complexes d’une combinaison linéaire de quantités de base reconstruisant la quantité de départ.

Si l’analyse fréquentielle de Fourier met en œuvre deux représentations conjuguées et globales, l’une de type temporel, l’autre de type fréquentiel, la nature est cependant riche en signaux pour lesquels l’information utile est véhiculée non seulement par les fréquences émises mais aussi par la structure temporelle même du signal ; l’exemple de la musique est en cela caractéristique (une partition musicale rend compte à la fois de la fréquence des notes mais également de l’ordre dans lequel elles doivent être jouées). Une représentation du signal comme fonction du temps uniquement donne peu d’indications sur le comportement en fréquence, tandis que son analyse de Fourier masque l’instant d’émission et la durée de chacun des éléments composites du signal. Pour les besoins du traitement du signal, on a donc cherché à associer, à un signal temporel ou fréquentiel, des représentations dépendant des deux variables temps et fréquence et possédant donc simultanément les deux caractères temporel et fréquentiel. Ces transformées sont qualifiées de représentations temps-fréquence (RTF), elles ne doivent surtout pas être confondues avec des représentations fréquentielles partielles, d’un signal bivariable spatio-temporel (dépendant alors du temps et de la fréquence associée à la variable spatiale).

Il convient de voir le passage par RTF au domaine temps-fréquence, non pas comme un gain d’information, mais plutôt comme une redistribution de l’information contenue dans le signal analysé de façon à en faciliter l’interprétation. Les RTF ont en effet l’avantage de mettre en évidence des comportements locaux non stationnaires : la liaison existant entre représentation temps-fréquence et représentation fréquentielle d’un signal peut se comparer à la relation entre une suite de notes musicales et l’histogramme de ces notes. Diverses méthodes engendrent des RTF de propriétés et performances variées. Elles se regroupent au sein d’ensembles cohérents, basés soit sur le type (paramétrique ou non) de modélisation, soit sur le caractère (linéaire, quadratique ou autre) de la transformation engendrant la représentation.