Bibliographie & annexes
Présentation
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RÉSUMÉ
Cet article décrit deux nouveaux records établis fin 2019 : un record de factorisation d’entier avec la factorisation du nombre RSA-240, et un record de calcul de logarithme discret de même taille. Ces deux records correspondent à des nombres de 795 bits, soit 240 chiffres décimaux, et ont été établis avec le même logiciel libre (CADO-NFS), sur le même type de processeurs. Ces records servent de référence pour les recommandations en termes de taille de clé pour les protocoles cryptographiques.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Fabrice BOUDOT : Professeur de l’Éducation nationale - Université de Limoges, XLIM, UMR 7252, Limoges, France
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Pierrick GAUDRY : Directeur de recherche CNRS - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
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Aurore GUILLEVIC : Chargée de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
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Nadia HENINGER : Associate Professor - University of California, San Diego, États-Unis
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Emmanuel THOMÉ : Directeur de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
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Paul ZIMMERMANN : Directeur de recherche Inria - Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, Nancy, France
INTRODUCTION
La cryptographie à clé publique a connu un essor notable depuis son introduction en 1976-1977. Elle repose sur des fonctions mathématiques qui se calculent rapidement dans un sens mais dont l’inverse est extrêmement difficile à calculer. La multiplication de deux grands entiers premiers est simple sur un ordinateur, mais factoriser un tel produit est bien plus difficile et fait l’objet d’une compétition internationale. Cet article présente l’état de l’art pour le chiffrement RSA (Rivest-Shamir-Adleman) basé sur la difficulté de la factorisation de très grands entiers, et pour le chiffrement Diffie-Hellman basé sur la difficulté d’inverser une exponentiation dans certains groupes mathématiques. En 2019 le record de factorisation d’un produit de 240 chiffres décimaux a été obtenu en près de mille années-cœurs sur plusieurs grappes de calcul. L’intérêt de ces records est d’extrapoler les tailles de clés cryptographiques pour différents besoins de chiffrement et durées de protection.
Points clés
Domaine : Cryptographie, informatique, mathématiques
Technologies impliquées : algorithmique, calcul haute performance
Domaines d'application : informatique
Principaux acteurs français :
– recherche : Inria, CNRS (INS2I), plusieurs universités
– gouvernemental : ANSSI
– industriels : plusieurs
L'expertise technique et scientifique de référence
MOTS-CLÉS
factorisation d’entier logarithme discret cryptographie à clé publique crible algébrique CADO-NFS
VERSIONS
- Version archivée 1 de févr. 2011 par Pierrick GAUDRY, Emmanuel THOMÉ, Paul ZIMMERMANN
DOI (Digital Object Identifier)
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Conclusion
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3. Calcul d’un logarithme discret sur 240 chiffres
Au premier abord, la variante NFS-DL de l’algorithme NFS est assez similaire à ce qui est utilisé pour la factorisation d’entier. Et en effet, les grandes étapes sont les mêmes (cf. § 2). D’ailleurs certaines briques logicielles sont entièrement partagées entre les deux variantes. C’est le cas du programme qui permet de récolter les milliards de relations qui, une fois filtrées, forment la matrice sur laquelle on applique l’étape d’algèbre linéaire. Malgré cela, il y a des différences importantes à chaque étape, soit que l’algorithme est différent, soit que l’on règle les paramètres de manière différente. Sans rentrer dans les détails mathématiques ou algorithmiques, nous allons redonner pour chaque étape quelques points clés, ainsi que des données numériques liées au présent record, qui concerne le nombre premier p = RSA-240 + 49204, qui est le plus petit nombre premier sûr plus grand que RSA-240 (i.e.,
est aussi un nombre premier).
3.1 Sélection polynomiale
L’algorithme utilisé pour cette étape est dû à Antoine Joux et Reynald Lercier (2003). Il fournit des polynômes de bien meilleure qualité que l’algorithme de Kleinjung utilisé pour la factorisation, en tirant parti du fait que le nombre p modulo lequel on travaille est premier. L’objectif de cette étape est de trouver deux polynômes f 0 et f 1 à coefficients entiers, avec deg f 0 = 3, deg f 1 = 4,...
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Calcul d’un logarithme discret sur 240 chiffres
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AGENCE NATIONALE DE LA SÉCURITÉ DES SYSTÈMES D’INFORMATION - Référentiel général de sécurité, v2.03, Annexe B1. - Téléchargeable via https://www.ssi.gouv.fr/uploads/2014/11/RGS_v-2-0_B1.pdf (2014).
-
(2) - KLEINJUNG (T.) et al - Factorization of a 768-Bit RSA Modulus. - In : CRYPTO 2010. Sous la dir. de Tal Rabin. LNCS 6223. Springer, Heidelberg, p. 333-350. doi :10.1007/978-3-642-14623-7_18 (2010).
-
(3) - KLEINJUNG (T.) et al - Computation of a 768-Bit Prime Field Discrete Logarithm. In : EUROCRYPT 2017, Part I. - Sous la dir. de Jean-Sébastien Coron et Jesper Buus Nielsen. LNCS 10210. Springer, Heidelberg, p. 185-201. doi :10.1007/978-3-319-56620-7_7 (2017).
-
(4) - BOUDOT (F.) et al - Comparing the difficulty of factorization and discrete logarithm : a 240-digit experiment. In : Proceedings of Advances in Cryptology (CRYPTO). - Sous la dir. de D. Micciancio et T. Ristenpart. LNCS 12171. p. 62-91 (2020).
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...
ANNEXES
Computations of discrete logarithms, Laurent Grémy :
Wikipedia Integer factorization records :
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization_records
Wikipedia RSA numbers :
https://en.wikipedia.org/wiki/RSA_numbers
(pages consultées le 4 août 2020)
Glossaire de l’ANSSI :
https://www.ssi.gouv.fr/particulier/glossaire/
(page consultée le 16 septembre 2020)
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