Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
La sûreté de fonctionnement consiste en l’analyse quantitative des dangers potentiels de tout système ou appareil. Les aspects majeurs couvrant cette notion, qui sont la fiabilité, la maintenabilité et la disponibilité, sont modélisés par la théorie mathématique. L'évaluation de ces caractéristiques relève essentiellement du calcul des probabilités et de la statistique. Cet article présente d'abord la durée de vie d'un élément, en tant que variable aléatoire positive, avec les notions élémentaires de la théorie des probabilités. Sont ensuite étudiés le composant réparable avant d'aborder la notion de système : la fiabilité de ces systèmes est analysée successivement à partir des processus markoviens et des processus régénératifs.
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The operating safety consists in the quantitative analysis of the potential hazards presented by any system or equipment. The main aspects of this notion i.e. reliability, maintainability and availability, are modeled by the mathematical theory. The assessment of these characteristics essentially involves the calculation of probabilities and statistics. This article presents the lifetime duration of an element, as a positive random variable, and the elementary notions of the theory of probabilities. After having studied the repairable component, it focuses on the notion of system; the reliability of these systems is successively analyzed from the Markov and regenerative processes.
Auteur(s)
-
Jean-Louis BON : Professeur des universités, laboratoire Paul Painlevé (USTL) - Directeur de Polytech'Lille
INTRODUCTION
Etes-vous sûr du bon fonctionnement de ce système ? Qui ne s'est posé cette question avant de monter dans un avion, d'acheter une maison près d'une centrale nucléaire ou, plus simplement, avant d'acheter un appareil ? L'inquiétude est naturelle et nécessite une analyse quantitative des dangers potentiels globalement appelée Sûreté de Fonctionnement (SdF).
La théorie mathématique de fiabilité des systèmes modélise les différents aspects de la sûreté de fonctionnement. Fiabilité si l'on s'intéresse à la date de la panne. Maintenabilité si l'on s'intéresse à la facilité de réparation. Disponibilité si l'on souhaite mesurer le bon fonctionnement à un moment précis.
L'évaluation de ces caractéristiques relève essentiellement du calcul des probabilités et de la statistique. Lorsqu'on observe suffisamment de pannes sur le système, il suffit d'appliquer les méthodes statistiques classiques. C'est le cas des automobiles pour lesquelles il est facile de collecter un grand nombre d'observations de panne. Mais ce n'est heureusement pas le cas pour la plupart des grands systèmes fortement réparables (aéronautique, nucléaire, etc.). Il faut alors pouvoir en modéliser le comportement avec, comme seules informations : la qualité des composants élémentaires, la structure du système et les procédures de réparation. Si la théorie des probabilités élémentaires suffit à l'étude des durées de vie d'un composant, nous devons faire appel à la théorie des processus stochastiques pour analyser la vie d'un système formé de plusieurs composants.
Le plan de cet article suit la même logique. Nous présentons d'abord la durée de vie d'un élément, en tant que variable aléatoire positive avec les notions élémentaires de la théorie des probabilités. Nous étudions ensuite le composant réparable avant d'aborder la notion de système : la fiabilité de ces systèmes est analysée successivement à partir des processus markoviens et des processus régénératifs.
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Systèmes régénératifs (composants non exponentiels)4. Disponibilité des systèmes markoviens (cas de composants réparables exponentiels)
Le précédent paragraphe a permis de faire un rapide tour d'horizon des méthodes de calcul de l'évolution d'un système industriel modélisé par un processus markovien. Cela répond à la question : quelle est la probabilité d'être dans un état donné à une date donnée ?
L'utilisation industrielle la plus fréquente de ces méthodes concerne deux types de problèmes :
-
les problèmes de fiabilité : à quelle date le système tombe-t-il en panne ?
-
les problèmes de disponibilité : à quelles périodes le système est-il en panne ?
Pour les problèmes de fiabilité, on ne prend pas en compte la réparation à partir des états de panne du système. On dit que ces états sont absorbants. Un état i est absorbant lorsque λ ii = 0 ; ce qui signifie que le temps de séjour y est infini.
Pour les problèmes de disponibilité, le système évolue entre des périodes de fonctionnement et des périodes de panne. Dans ce qui suit, nous montrons qu'avec le temps tout système markovien finit par se régulariser.
4.1 Analyse asymptotique
Le but de ce paragraphe est d'étudier l'évolution d'un système markovien très âgé.
Insistons sur le fait que « markovien » signifie, dans la pratique : durées de vie et durées de réparation des composants sans usure (c'est-à-dire de loi exponentielle). C'est le cas pour de nombreux systèmes électroniques mais ce n'est évidemment pas le cas des automobiles ou … des humains.
La question qui nous intéresse est la suivante : lorsque t tend vers l'infini, le vecteur p décrivant les probabilités de présence dans chaque état converge-t-il ? Si oui, comment caractériser la distribution limite ?
Pour y répondre, reprenons la méthode d'uniformisation (cf. § 3.3.3...
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Disponibilité des systèmes markoviens (cas de composants réparables exponentiels)
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Le congrès λµ se tient en France tous les deux ans. Il est organisé par IMdR (Institut pour la maîtrise des risques).
λµ 16 (16e congrès pour la maîtrise des risques et de sûreté de fonctionnement) s'est tenu à Avignon en 2008. Il avait pour thème « Les nouveaux défis de la maîtrise des risques » et fut l'occasion de fêter les 30 ans de la sûreté de fonctionnement.
Consulter le site :
http//imdr.eu/v2/extranet/index.php?page=1m16_theme
HAUT DE PAGE
http://www.r-project.org/ : logiciel libre pour la statistique
http://www.ieee.org/ : site de l'association IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), qui publie IEEE Reliability
http://www.imdr.eu/ : site de l'association ImdR (Institut pour la Maîtrise des Risques) qui aide les entreprises à adopter une démarche préventive des risques en fournissant des outils quantitatifs
http://portaildurisque.iut.u-bordeaux1.fr/bdSdF.htm regroupe des sites qui peuvent aider à l'analyse de fiabilité des systèmes
http://www.edf.fr > Groupe EDF > RetD permet de tester gratuitement des outils de calcul de fiabilité des systèmes
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