Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La notion de chaîne a été introduite en 1902 par Andrei Markov dans le but de formaliser des problèmes d'épistémologie et de cryptage. Plus tard, vers 1940-1950, est apparu un formalisme beaucoup mieux adapté, proposant des modes opératoires effectifs s'inspirant de la théorie générale des processus stochastiques et de la théorie du potentiel. Cette présentation est élémentaire et ne nécessite que des connaissances de base en probabilités. Des exemples illustrent la théorie débouchant sur des procédures algorithmiques génériques : algorithmes de recherche de mesures invariantes, de la programmation dynamique et des chaînes de Markov cachées.
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The concept of the chain was introduced in 1902 by Andrei Markov in order to formalize epistemologic and encryption issues. Later, around the years 1940-1950, a much better and adapted formalism appeared, offering effective operating modes inspired by the general theory of stochastic processes and the potential theory. This presentation is basic and only requires a basic knowledge in probabilities. Examples illustrate the theory leading to generic algorithmic approaches: algorithms for invariant measures, dynamic programming and hidden Markov chains.
Auteur(s)
-
Jean LACROIX : Professeur à l'université Paris VI
INTRODUCTION
La notion de chaîne a été introduite en 1902 par Andrei Markov dans le but de formaliser des problèmes d'épistémologie et de cryptage.
L'espace d'états est alors fini et, durant une longue période, beaucoup d'utilisateurs se sont contentés de manipulations matricielles qui trouvent rapidement leurs limites, même avec les moyens informatiques actuels. Ce n'est que vers les années 1940-1950 qu'est apparu un formalisme beaucoup mieux adapté, proposant des modes opératoires effectifs qui s'inspirent de la théorie générale des processus stochastiques et de la théorie du potentiel. La présentation qui en est faite ici est volontairement élémentaire et ne nécessite que des connaissances de base en probabilités. En effet, l'on se restreint ici à un espace d'états dénombrable et l'on ne fait pas usage de concepts plus élaborés comme les filtrations ou la théorie des martingales. La notion de dépendance markovienne est très intuitive ; par contre, les techniques de calcul demandent plus de dextérité et d'entraînement. C'est pourquoi un grand nombre de preuves et d'exemples sont fournis, pour permettre au lecteur de s'exercer à la manipulation d'outils nouveaux. Quelques preuves sont aussi rédigées pour pallier la lourdeur de certaines présentations, principalement en ce qui concerne celles décrites dans le paragraphe . En ce qui concerne les applications, qui sont extrêmement nombreuses, le choix s'est porté sur quelques exemples qui débouchent sur des procédures algorithmiques génériques, relativement récentes et d'un usage très répandu : algorithmes de recherche de mesures invariantes (Propp-Wilson, Metropolis), de la programmation dynamique (Bellman) et des chaînes de Markov cachées (E.M.).
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Évolution markovienne
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4. Applications des chaînes de Markov
Les applications des chaînes de Markov sont extrêmement variées et il n'est bien sûr pas question de toutes les évoquer (voir, par exemple, et ). On se restreint donc à quelques exemples permettant de mettre l'accent sur des procédures algorithmiques largement utilisées.
4.1 Algorithme de Hastings-Metropolis
Soit E un espace dénombrable. On désire trouver un procédé de simulation d'une variable aléatoire de loi λ que l'on peut toujours supposer strictement positive, cette loi étant connue à une constante multiplicative près, par exemple une mesure de Gibbs de la forme
. Pour cela, on se donne une probabilité de transition R (x,y) vérifiant
et l'on construit Q par la formule :
Il est facile de constater que λ est réversible pour Q, c'est-à-dire que
. Il s'ensuit que λ est invariante pour Q. On doit donc s'assurer que Q admet une seule probabilité invariante et trouver ensuite un procédé de simulation de celle-ci.
L'algorithme du « recuit simulé », correspond au cas d'une mesure de Gibbs. On se donne un ensemble fini de « voisins » de chaque point x ∈ E, de telle sorte que la mesure R(x,.) uniformément distribuée sur les « voisins » de x, définisse un noyau symétrique et irréductible. Le noyau Qβ admet donc l'unique probabilité invariante λ β. Celle-ci converge vers la loi uniforme sur l'ensemble des minimums de la fonction H lorsque β → +∞, ce qui donne donc un moyen de déterminer ceux-ci, en évitant les minimums locaux.
Pour construire une variable aléatoire de loi λ, on fait la construction suivante : on se donne une loi de probabilité de base μ que l'on suppose facilement simulable et strictement...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BREMAUD (P.) - Chaînes de Markov - Springer-verlag, New-York (2001).
-
(2) - DELMAS (J.F.), JOURDAIN (B.) - Modéles aléatoires - Mathématiques et applications (57) Springer-verlag, Berlin (2006).
-
(3) - DURRETT (R.) - Probability : Theory and examples - Wadsworth and Brooks, Pacific Grove (1991).
-
(4) - LACROIX (J.) - Chaînes de Markov et processus de Poisson - Cours en ligne de l’université de Paris VI http://www.proba.jussieu.fr/supports.php.
-
(5) - LACROIX (J.), PRIOURET (P.) - Probabilités approfondies - Cours en ligne de l’université de Paris VI http://www.proba.jussieu.fr/supports.php.
-
(6) - MAZLIAK (L.), PRIOURET (P.), BALDI (P.) - Martingales et chaînes de Markov - Hermann, (2001).
-
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