1.1 - Classes de fonctions localement intégrables
1.2 - Formules de Fourier
1.3 - Convolution de deux fonctions et théorème d’unicité

Figure 1 - Graphe de KN
1.4 - Cas des séries uniformément convergentes
1.5 - Règles de calcul

2 - DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE FOURIER

2.1 - Noyau de Dirichlet
2.2 - Théorème de Dirichlet
2.3 - Principe de localisation de Riemann et retour à Dirichlet

3 - EXEMPLES DE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE FOURIER

3.1 - Cas des fonctions paires ou impaires
3.2 - Fonction signal. Fonction triangle
3.3 - Fonction │cos│. Théorème de Weierstrass

4 - CAS DES FONCTIONS LOCALEMENT DE CARRÉ INTÉGRABLE

4.1 - Base des exponentielles imaginaires
4.2 - Inégalité de Bessel. Identité de Parseval
4.3 - Fonctions de classe C 1 et convergence normale
4.4 - Retour au théorème de Weierstrass

5 - ÉQUATION DE LA CHALEUR POUR UNE BARRE FINIE

5.1 - Modélisation du problème
5.2 - Séparation des variables et séries de Fourier
5.3 - Principe du maximum
5.4 - Théorème d’existence et d’unicité

6 - APPLICATIONS DIVERSES DES SÉRIES DE FOURIER

6.1 - Inégalité de Wirtinger
6.2 - Une équation aux différences
6.3 - Critère de Weyl. Loi de Benford

Bibliographie & annexes

Article de référence | Réf : AF141 v1

Développement en série de Fourier
Séries de Fourier

Auteur(s) : Hervé QUEFFÉLEC

Date de publication : 10 janv. 1999

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Auteur(s)

Hervé QUEFFÉLEC : Professeur de mathématiques à l’Université de Lille

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INTRODUCTION

Rappelons qu’une fonction f : $ℝ$ → $ℂ$ est dite T – périodique si,

f (x + T ) = f (x )

pour tout x réel ;

On peut toujours se ramener à T = 2 π, quitte à considérer g(x) = $f (\frac{Tx}{2 π})$ .

Une des propriétés essentielles du nombre π est que les fonctions cos nx, sin nx, e ^inx (où n est entier), appelées « signaux élémentaires », sont 2 π - périodiques ainsi que leurs combinaisons linéaires ; une question naturelle se pose alors : obtient-on ainsi toutes les fonctions 2 π – périodiques ? On va voir que la réponse est essentiellement « oui » si on autorise les combinaisons linéaires infinies (séries), mais des problèmes délicats de régularité de la fonction f et de convergence des séries surgissent.

La théorie des séries de Fourier, initiée par Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur, avait au départ un but analogue : montrer que toutes les solutions d’une certaine équation aux dérivées partielles, dite équation de la chaleur (nous l’étudierons dans les applications), s’obtiennent comme superposition de solutions élémentaires ; cette théorie a aujourd’hui pour but de préciser comment une fonction f 2 π – périodique plus ou moins arbitraire peut s’obtenir à partir des signaux élémentaires et réciproquement de voir les fonctions f qu’on obtient en prenant des combinaisons linéaires infinies plus ou moins arbitraires des signaux élémentaires, disons $\sum c_{n} e^{i nx}$ :

la première opération s’appelle l’analyse de f ;
la seconde la synthèse des signaux c_n e ^inx.

Ces deux opérations sont inverses l’une de l’autre, comme la dérivation et l’intégration.

Considérons l’exemple du noyau de Poisson P _r , donné par la formule :

P_{r} (t) = \frac{1 - r^{2}}{1 - 2 r \cos t + r^{2}} (0 \leq r < 1) .

^( 1 )

L’analyse de P _r , 2 π – périodique, conduit à montrer qu’il se représente par la série normalement convergente :

\sum_{- \infty}^{\infty} r^{| n |} e^{i nt} .

Inversement, la synthèse des signaux $r^{| n |}$ e ^int conduit à :

\sum_{- \infty}^{\infty} r^{| n |} e^{i nt} = \sum_{0}^{\infty} r^{n} e^{i nt} + \sum_{0}^{\infty} r^{n} e^{- i nt} - 1 = {(1 - {re}^{i t})}^{- 1} + {(1 - {re}^{- i t})}^{- 1} - 1

= \frac{1 - r^{2}}{1 - 2 r \cos t + r^{2}},

et on retrouve la relation [1].

On dispose alors pour P _r de deux avatars (c’est l’un des grands intérêts de la théorie, limité par le principe d’incertitude d’Heisenberg) :

l’avatar « fonction » [1], sur lequel on lit par exemple la positivité de P _r , peu claire sous la forme [2] ;
l’avatar « série de Fourier » [2], sur lequel on lit par exemple que :

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} P_{r} (t) d t = 1,$

ce qui est peu clair sous la forme [1].

De façon générale, comment fait-on pour associer à une fonction f une série de Fourier $\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i nx}$ , c’est-à-dire comment fait-on pour calculer les c_n en fonction de f ? C’est ce que nous allons voir dans la suite.

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https://doi.org/10.51257/a-v1-af141

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2. Développement en série de Fourier

2.1 Noyau de Dirichlet

Pour N $\geq$ 0, posons $D_{N} (t) = \sum_{- N}^{N} e^{i nt}$ ; D_N s’appelle le noyau de Dirichlet d’ordre N ; c’est lui qui va régir le comportement de S_N (f ), comme le montre le théorème suivant, où f ∊ L ¹.

Théorème 4. Soit t réel tel que 0 < │t │ $\leq$ π ; alors :

a) $D_{N} (t) = \frac{\sin [(N + \frac{1}{2}) t]}{\sin (\frac{t}{2})}$

b) D_N (t ) = $2 \frac{\sin Nt}{t}$ + u (t )sinNt + cosNt,

où u est une fonction bornée.

c) S_N (f ) = f * D_N .

Preuve. ⋄

a) $...$

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BIBLIOGRAPHIE

(1) - DAVIS (P.) - * - Interpolation and approximation.
(2) - KUIPERS (L.), NIEDERREITER (H.) - Uniform distribution of sequences. - Wiley-Interscience Series, 1974.
(3) - ZYGMUND (A.) - Trigonometric Series, - Second Edition. Cambridge University Press, 1959.
(4) - ARNAUDIES (J.M.), FRAYSSE (H.) - Cours de mathématiques, - tome 3. Dunod.

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