Une équation elliptique : l’équation de Laplace
Introduction aux équations aux dérivées partielles linéaires

On se propose dans cet article de décrire quelques propriétés élémentaires des équations aux dérivées partielles (e.d.p.) linéaires du second ordre à coefficients constants, autrement dit, dans le cas de deux variables, des équations de la forme :

où a, b, c, α, β, γ désignent six nombres réels donnés (a, b, c étant non tous nuls), F une fonction continue de deux variables réelles définie sur un ouvert U du plan et u une fonction inconnue, supposée de classe C ².

On distingue a priori deux types de problèmes :

• ceux dans lesquels n’intervient pas la variable temps t, et qui ne dépendent donc que des variables spatiales x, y, z ; ils sont appelés problèmes stationnaires ;

• ceux dans lesquels intervient, en plus des variables spatiales x, y, z, la variable temps t ; ils sont appelés problèmes d’évolution.

• On recherche le plus souvent des solutions vérifiant des conditions aux limites, signifiant que la solution considérée u, a priori définie sur l’ouvert U du plan, satisfait certaines conditions sur la frontière de U. On distingue à ce sujet deux types de conditions, celles de Dirichlet et de Neumann.

Les conditions de Dirichlet imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’être alors égale à une fonction donnée sur la frontière de U.

Les conditions de Neumann imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’admettre en tout point de la frontière de U une dérivée u/ N suivant le vecteur normal N orienté vers l’extérieur de la frontière de U (supposée suffisamment régulière) égale à une fonction donnée.

Dans un problème d’évolution, on recherche de plus des solutions vérifiant certaines conditions initiales (ou conditions de Cauchy), signifiant que, à l’instant t = 0, la solution u(x, y, z, t ) de l’équation vérifie

où f est une fonction donnée, et parfois

où g est une fonction donnée.

• Les problèmes que l’on peut alors étudier sont les suivants.

  • Un problème stationnaire donné avec des conditions aux limites ou un problème d’évolution donné avec des conditions aux limites et des conditions initiales, admettent-ils une solution et une seule ?

  • Dans l’affirmative, la solution obtenue dépend-elle continûment des données (autrement dit, une « petite » erreur commise sur les conditions aux limites ou sur les conditions initiales conduit-elle à une « petite » erreur sur la solution) ?

Notons dès maintenant que la linéarité de l’équation E implique que :

• les solutions de l’équation homogène (équation obtenue lorsque le second membre F est nul) forment un espace vectoriel ;

• la solution générale de l’équation complète s’obtient comme la somme d’une solution particulière de l’équation avec second membre et de la solution générale de l’équation homogène.

Cet article est introductif et ne fait appel qu’à des méthodes élémentaires. En particulier, il ne fait jamais référence à la théorie des distributions, cependant centrale dans toutes ces questions. De même, les méthodes numériques de résolution (par différences finies ou par éléments finis) dont l’importance est essentielle puisque la résolution analytique n’est pas praticable en général ne sont pas abordées ici.

On se reportera en bibliographie aux références [1] à [5].