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Auteur(s)
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Pascal MARONI : Docteur ès Sciences Mathématiques - Directeur de Recherche au CNRS
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les fonctions eulériennes ont une situation particulière : elles apparaissent dans presque toutes les questions touchant les autres fonctions spéciales, c’est‐à‐dire qu’elles interviennent, en particulier la fonction Gamma, dans la plupart des problèmes provenant de la physique mathématique. Il paraît donc nécessaire d’étudier ces fonctions avant toutes les autres.
Historiquement, la fonction gamma est née de l’exigence de donner un sens à x ! pour x complexe quelconque. La formule de Stirling, fournissant une estimation de x ! pour x grand, fondamentale dans les questions de comportement asymptotique, achève de donner un statut primordial à la fonction Γ.
L’étude de celle‐ci fait intervenir dès le début les principes fondamentaux de la théorie des fonctions de variable complexe. Il est remarquable de constater que la justification de ses principales propriétés peut être exposée de façon élémentaire, sans cesser d’être rigoureuse.
Longtemps au nombre de trois, les suites de polynômes orthogonaux classiques, comme les trois mousquetaires, sont en fait au nombre de quatre depuis 1949 : les polynômes d’Hermite, les polynômes de Laguerre (à un paramètre), les polynômes de Bessel (à un paramètre) et les polynômes de Jacobi (à deux paramètres). Les polynômes de Bessel ont tardé à obtenir le statut de polynômes classiques parce que la forme de Bessel n’est pas définie positive pour aucune valeur du paramètre.
Algébriquement, une suite orthogonale est qualifiée de classique si la suite des dérivées est aussi orthogonale. Avec cette définition, les polynômes de Bessel sont classiques. D’autres définitions sont possibles ; les plus importantes sont exposées ici.
À l’étude basée sur le caractère hypergéométrique des polynômes classiques, on a préféré une exposition purement algébrique qui a le mérite de relier les différentes caractérisations de manière naturelle. Avec ce point de vue, les questions de représentation des formes sont rejetées au second plan.
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3. Polynômes orthogonaux classiques
3.1 Définitions
3.1.1.1 Définition des suites classiques
Sauf mention du contraire, les suites envisagées sont toujours normalisées.
On appelle suite classique toute suite orthogonale
dont la suite des dérivées
est aussi orthogonale.
Une forme régulière, dont la suite orthogonale associée est classique, sera appelée une forme classique.
On a donc pour une suite classique :
( 30 )
( 31 )
Il s’agit de déterminer les éléments
et les formes canoniques u0 , v0 .
3.1.1.2 Un exemple particulier : les polynômes d’Hermite
Ceux-ci appartiennent à une classe très générale : les polynômes d’Appell.
On dit que la suite
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Polynômes orthogonaux classiques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BASS (J.) - Cours de mathématiques. - Tomes 1 et 2, 4e éd. (1968) ; Tome 3, Masson (1971).
-
(2) - SANSONE (G.), GERRETSEN (J.) - Lectures on the theory of functions of a complex variable. - Tome 1, Holomorphic functions (1960) ; Tome 2, Geometric theory (1969) Noordhoff.
-
(3) - COPSON (E.T.) - An introduction to the theory of functions of a complex variable. - Oxford University Press (1935) (réimprimé en 1970).
-
(4) - DIEUDONNE (J.) - Calcul infinitésimal. - Hermann (1968).
-
(5) - GOSTIAUX (B.) - Cours de mathématiques spéciales. - Tome 2, Topologie, analyse réelle ; Tome 3, Analyse fonctionnelle et calcul différentiel. PUF (1993).
-
(6) - ARTIN (E.) - The gamma function. - Holt, Rinehart and Winston (1964).
- ...
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