Cas des espaces de dimension finie
Espaces préhilbertiens

De nombreux problèmes admettent une interprétation variationnelle, c’est-à-dire une formulation dans laquelle une solution du problème traité réalise un extremum pour une certaine fonctionnelle, par exemple l’énergie. Ce point de vue est issu de la physique, mais est très fréquemment rencontré dans d’autres sciences et notamment en mathématiques. D’autre part, un problème posé sous forme d’une équation ϕ(x) = 0 peut ne pas admettre de solution exacte, et la recherche de solutions approchées conduit là encore à s’intéresser à des objets qui minimisent ϕ, lorsque cette fonction ne s’annule pas : il en est ainsi de la méthode des moindres carrés.

La recherche des extremums d’une fonction présente de nombreuses facettes, mais les deux exemples que nous avons donnés renvoient à un cadre dans lequel la distance est de nature quadratique. Dans le cas de la méthode des moindres carrés, on minimise une norme euclidienne. Le cadre est donc celui des espaces de dimension finie, où la notion de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie est facile à comprendre et à détailler. Dans le cas du minimum de l’énergie, on est conduit à minimiser une fonctionnelle du type , où l’argument est une fonction f, réelle ou complexe, dont l’argument est une variable spatiale ou temporelle, cette fonction décrivant un certain ensemble D défini par les contraintes du problème. En intégrant sur un domaine spatial ou temporel, on définit une quantité qui, lorsque f décrit D, doit être minimisée.

Une telle fonctionnelle dérive en réalité d’un produit scalaire préhilbertien réel ou complexe, et l’on constate que chercher le minimum de sur D revient à chercher la distance de 0 à D pour la norme préhilbertienne associée, ainsi que les f de D qui réalisent ce minimum. Si l’on reste dans le cadre des fonctions de départ (par exemple, celui des fonctions continues), il peut ne pas y avoir de solution, ce qui signifie simplement qu’il n’y a pas de minimum, mais seulement un infimum. Cependant, on constate qu’un tel problème admet toujours une solution unique lorsque D est un sous-espace vectoriel fermé d’un espace préhilbertien complet, espace que l’on appelle espace de Hilbert. Il reste la difficulté de trouver un tel espace de Hilbert et de l’interpréter. Ce n’est pas notre objet de la résoudre ici, mais l’on doit constater que la théorie de l’intégrale de Lebesgue fournit le cadre idéal pour traiter ces problèmes.

Après avoir donné les résultats généraux relatifs à un espace préhilbertien, nous démontrons le théorème spectral pour les endomorphismes normaux. Puis nous étudions le cas élémentaire des espaces de dimension finie. Enfin, nous établissons les propriétés fondamentales des espaces de Hilbert, en faisant un détour par la projection sur un convexe complet.