Mathématiques élémentaires de la cryptographie
Cryptographie - Mathématiques

On peut grossièrement définir la cryptographie comme un ensemble de techniques visant à assurer la sécurité des communications. Un examen rapide de cette sécurité révèle qu’elle peut se présenter sous deux formes assez distinctes suivant les menaces dont on cherche à se prémunir.

• Si une entité A envoie un message à une entité B et cherche à rendre inutile l’interception du message à quiconque n’est pas B, le service recherché est celui de la confidentialité : il s’agit de rendre inopérante une attaque passive (écoute téléphonique, ouverture de courrier). La réponse à ce besoin repose sur l’utilisation d’un algorithme de chiffrement.

• Reprenons la même configuration. A envoie un message à B, mais on ne se préoccupe plus maintenant de confidentialité ; on veut que B puisse avoir l’assurance de la provenance de l’information qu’il reçoit, de son authenticité. On veut empêcher une attaque active, par exemple un ajout d’information pendant que celle-ci transite sur la ligne de communication. Il existe toute une famille de besoins de ce type. On veut être sûr de l’intégrité des données transmises, ou bien on veut s’assurer de l’identité de l’expéditeur (de l’authenticité de la carte bancaire et de son possesseur qui retire de l’argent dans un distributeur par exemple. Il s’agit d’un problème d’authentification ou d’identification. Si l’on veut encore aller plus loin en requérant une « preuve » de l’identité de l’expéditeur, on peut avoir besoin d’une signature.

• C’est surtout le premier type de besoin qui a prévalu pendant des siècles entiers (confidentialité). Les utilisateurs de la cryptographie étaient alors exclusivement les militaires et les diplomates. Aujourd’hui, les échanges bancaires ont atteint un volume impressionnant ; l’usage du courrier électronique et le commerce électronique se développent et, d’une manière générale, l’informatique bouleverse les moyens de communication. Si les utilisateurs traditionnels de la cryptographie voient aussi leurs besoins s’accroître, ils perdent néanmoins le monopole (ce qui n’est pas toujours sans difficultés, les moyens de cryptographie relevant de la législation des armements dans le nombreux pays) et d’autres domaines font appel à la cryptographie. Les besoins du second type cité (authentification, signature) sont peut-être les plus cruciaux pour ces applications « civiles ».

L’article « Cryptographie » fait l’objet de deux fascicules :

AF 172 Mathématiques

AF 173 Algorithmes

Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.

Le lecteur devra assez souvent se reporter à l’autre fascicule.