Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Cet article sur la transformée de Fourier est principalement consacrée aux applications et aux domaines dans lesquels l’utilisation de l’analyse en fréquence est indispensable. Sont d'abord présentés l’échantillonnage et le filtrage numérique des signaux 2D (notamment l’échantillonnage rectangulaire ou carré, la représentation fréquentielle des signaux, le filtrage des signaux bidimensionnels ou encore signaux aléatoires bidimensionnels). Ensuite, les quelques problèmes de traitement de signaux multidimensionnels qu’il est possible de rencontrer sont décrits : problèmes liés à la propagation d’ondes, reconstitution d’images à partir de projections, imagerie par résonance magnétique nucléaire, etc.
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Joël LE ROUX : École polytechnique universitaire (EPU) - Université de Nice Sophia-Antipolis
INTRODUCTION
Cette troisième partie de l’exposé sur la transformée de Fourier se base sur les notions présentées dans § 2 et sur l’extension multidimensionnelle d’outils décrits dans et dans , § 1.
Elle montre la mise en application des notions développées précédemment et traite en première lieu des problèmes liés à l’échantillonnage des images, des outils nécessaires au filtrage numérique des images et à l’analyse spectrale des signaux multidimensionnels en mentionnant un cas particulier, la transformée en cosinus à la base de techniques de compression d’images. Elle donne l’extension aux signaux bidimensionnels des outils utiles pour l’étude des signaux aléatoires, comme l’analyse spectrale.
Enfin, dans un deuxième paragraphe, elle aborde quelques domaines où l’utilisation de l’analyse en fréquence est fondamentale comme la propagation d’ondes, la résolution d’équations aux dérivées partielles, l’imagerie médicale, l’interférométrie et l’analyse des contours dans une image.
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Échantillonnage et filtrage numérique des signaux 2D
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2. Quelques problèmes de traitement de signaux multidimensionnels
Voici quelques exemples de problèmes où la transformée de Fourier joue un rôle important, aussi bien du point de vue pratique que théorique, dans la mesure où la puissance de calcul permet de traiter des signaux dans des espaces à trois dimensions. Nous verrons d’abord les possibilités offertes dans le domaine de la propagation d’ondes, puis la reconstruction d’images en tomographie et en résonance magnétique nucléaire, ensuite les applications en interférométrie et enfin le prétraitement en détection de contour en analyse d’images.
2.1 Problèmes liés à la propagation d’ondes
De nombreux développements portent sur la modélisation et l’analyse de signaux se propageant dans l’espace en fonction du temps. (Notons que J. Fourier a développé sa décomposition d’une fonction sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales pour traiter des problèmes de propagation correspondant à ce type d’équation différentielle.) Par exemple, la propagation de signaux acoustiques ou électromagnétiques dans un milieu homogène se traduit par des équations différentielles à coefficients constants et justifie une analyse dans le domaine des fréquences.
L’équation de propagation dans un milieu homogène :
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Quelques problèmes de traitement de signaux multidimensionnels
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - TINKU ACHARYA, PING-SING TSAI - JPEG 2000, Standard for image compression. - John Wiley & Sons, Inc., ISBN : 0471484229, online ISBN : 0471653748 (2005).
-
(2) - BARLAUD (M.) - Wavelets in image communication. - Elsevier, ISBN : 0-444-89281-8 (1994).
-
(3) - BARLAUD (M.), LABIT (C.) - Compression et codage des images et des vidéos. - Hermès- Lavoisier, ISBN : 2-7462-0328-6 (2002).
-
(4) - BELLANGER (M.) - Traitement numérique du signal. - Masson, ISBN : 2-225-84997-8 (1995).
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(5) - BOITE (R.), LEICH (H.) - Les filtres numériques. - Éditions Masson, ISBN : 2-225-81884-3 (1991).
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(6) - BLAHUT (R. E.) - Algebraic codes for data transmission. - Cambridge University Press, ISBN : 0521553741, ISBN-13 : 9780521553742 (2003).
- ...
ANNEXES
(liste non exhaustive)
Ces liens permettent d’accéder à divers documents dans le domaine du traitement du signal
http://perso.wanadoo.fr/michel.hubin/physique/
http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/transforms/index.html
http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html
https://engineering.purdue.edu/~malcolm/pct/
http:// tcts.fpms.ac.be/cours/1005-03/pointeurs.html
http://www.dsptutor.freeuk.com/
http://www.traitementdusignal.fr/
http://www-math.ucdenver.edu/~wcherowi/
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