Représentations séparées
Techniques de réduction de modèles - Vers une nouvelle génération d'abaques numériques

De nombreux problèmes en sciences et ingénierie ne peuvent à l’heure actuelle être résolus malgré les progrès accomplis récemment en terme de modélisation physique, d’analyse numérique et de capacité de calcul en raison de leur complexité numérique qui se révèle parfois tout simplement inimaginable. Dans cet article, nous reviendrons sur un certain nombre d’entre eux, en particulier :

• les modèles impliquant plusieurs coordonnées où ceux définis dans des domaines dont au moins une des dimensions représentatives est beaucoup plus petite que les autres dimensions caractéristiques, tous les deux entraînant des discrétisations prohibitives ;

• les problèmes transitoires dans lesquels le spectre des temps caractéristiques est trop vaste ;

• les simulations en temps réel ;

• et enfin les problèmes devant être résolus à plusieurs reprises comme ceux liés aux problèmes de contrôle, d’analyse paramétrique, d’analyse inverse, de quantification et propagation de l’incertitude ou encore d’optimisation, nécessitant la résolution d’un grand nombre de problèmes directs.

C’est dans ce types de scénarios que les techniques de simulation habituelles s’avèrent inefficaces, à moins d’être combinées avec une puissance de calcul adéquate souvent hors de portée pour les petites et moyennes entreprises.

Afin de démocratiser la simulation numérique, en s’affranchissant des difficultés citées précédemment et du recours aux « grands moyens », hors de portée pour la plus grande partie des utilisateurs potentiels, de nouvelles techniques de simulation ont émergées et se sont développées rapidement tant du point de vue fondamental qu’applicatif : ce sont les techniques dites de réduction de modèles qui sont passées en revue dans cet article.

Nous commencerons par une description sommaire de quelques verrous en matière de simulation numérique à l’heure actuelle. Puis nous nous attaquerons à une question d’importance capitale : la différence entre données et information. Nous montrerons qu’une quantité de données colossale résultant de la discrétisation d’un modèle peut ne cacher qu’une toute petite quantité d’information. Partant de ce constat, nous verrons alors qu’il est possible de définir des bases d’approximation réduites (en taille) mais contenant la quasi-totalité de l’information nécessaire pour reconstruire la solution recherchée. C’est l’idée fondamentale des techniques de réduction de modèles basées sur la POD (Proper Orthogonal Decomposition – décomposition orthogonale aux valeurs propres).

Nous montrerons que ces techniques basées sur la POD et ses variantes permettent d’accélérer les calculs sans demander trop de moyens mais que certains problèmes, tels que les modèles multidimensionnels et les domaines dégénérés, restent néanmoins hors de portée. De plus le contrôle de la qualité des solutions et l’enrichissement des bases réduites restent dans la plupart des cas encore un sujet très actif de recherche.

Nous verrons ensuite que l’emploi des représentations séparées permet d’aller encore plus loin : en créant « hors-ligne » une sorte d’abaque (solution paramétrique) qui peut être employé ensuite « en-ligne » pour parvenir à la simulation, optimisation, analyse inverse et contrôle… en temps-réel.

Nous conclurons l'article avec quelques exemples applicatifs du potentiel de ces abaques numériques.