Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Cet article traite de l’intégration numérique des équations différentielles raides, et explique les phénomènes qui apparaissent, en s'appuyant sur des exemples issus des réactions chimiques et des équations aux dérivées partielles discrétisées en espace. Une méthode de reconnaissance d’une équation différentielle raide (méthodes standards, phénomène numériques, etc.) est proposée. Sont ensuite introduits les intégrateurs numériques d’ordre supérieur : méthodes de Runge-Kutta implicites, méthodes multipas, méthodes d’extrapolation, programmation des intégrateurs numériques. Pour terminer, des méthodes pour des problèmes particuliers sont proposés.
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This article addresses the numerical integration of stiff differential equations and explains the phenomena that appear by using examples resulting from chemical reactions and discretized partial differential equations in space. A method for recognizing a stiff differential equation (standard methods, numerical phenomena, etc.) is proposed. Higher order numerical integrators are then introduced: implicit Runge-Kutta methods, multistep methods, extrapolation methods, and numerical integrator programming. In conclusion, methods for specific problems are proposed.
Auteur(s)
-
Gerhard WANNER : Professeurs - Département de mathématiques - Université de Genève
INTRODUCTION
Dans de nombreuses applications, la dynamique d'un système peut être modélisée par des équations différentielles. L'étude de systèmes mécaniques (par exemple en astronomie ou en dynamique moléculaire), l'analyse des circuits électriques ou la théorie du contrôle (robotique) nous fournissent de tels problèmes. Souvent, pour les problèmes dits raides, les méthodes standards ne fournissent pas une solution correcte en un temps de calcul acceptable.
Ce dossier récapitulatif explique les phénomènes qui apparaissent dans les équations différentielles raides, en s'appuyant sur des exemples issus des réactions chimiques ainsi que des équations aux dérivées partielles discrétisées en espace. Les propriétés essentielles des intégrateurs numériques pour la résolution des équations raides sont discutées (A-stabilité, domaine de stabilité). Pour des problèmes généraux, les méthodes de Runge-Kutta implicites, les méthodes multipas (BDF) et les méthodes d'extrapolation sont traitées. Pour des problèmes raides particuliers de grande dimension sont également abordées les méthodes explicites avec grande région de stabilité, les méthodes de séparation et les méthodes implicites-explicites. Une liste de programmes informatiques du domaine public est donnée en Documentation Intégration numérique des équations différentielles raides [Doc. AF 653].
Comme références sur la résolution numérique des équations différentielles raides, le lecteur pourra consulter les ouvrages généraux suivants [1] [2] [3] [4] [5] [6], mentionnées en « Pour en savoir plus ».
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Reconnaître une équation différentielle raide
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3. Méthodes pour des problèmes particuliers
En pratique, on rencontre souvent des équations différentielles raides de très grande taille pour lesquelles la résolution numérique du système non linéaire de la méthode implicite est très coûteuse ou même impossible. Il arrive aussi que la raideur de l'équation différentielle soit présente seulement dans une petite partie de l'équation, on aimerait alors tirer profit de cette situation. Ce paragraphe présente quelques approches intéressantes pour ces problèmes particuliers.
3.1 Méthodes explicites avec longues régions de stabilité
Selon le théorème de Jeltsch-Nevanlinna évoqué au paragraphe , il n'existe pas de méthode explicite qui soit supérieure, du point de vue de la stabilité, à une autre méthode explicite pour tous les problèmes. Par contre, en présence de l'information sur la localisation des valeurs propres, on peut concevoir des méthodes efficaces pour cette classe de problèmes. La classe la plus importante est celle des problèmes où les valeurs propres sont réelles et localisées sur l'axe réel négatif. Comme référence on pourra consulter [6], chap. V et [5], § IV.2.
HAUT DE PAGE3.1.1 Méthodes de Runge-Kutta-Chebyshev
Commençons par chercher la meilleure fonction de stabilité. Pour une méthode d'ordre (au moins) 1, explicite à s étages, R(z) est un polynôme de degré s de la forme
. Le polynôme de Chebyshev T s(t) étant équioscillant entre − 1 et + 1 sur l'intervalle
, avec
, il fournit le polynôme désiré :
avec un intervalle de stabilité
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Méthodes pour des problèmes particuliers
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - WILLOUGHBY (R.A.), éd - Stiff differential systems - . Plenum Press, New York, The IBM Research Symposia Series (1974).
-
(2) - MIRANKER (W.L.) - Numerical methods for stiff equations and singular perturbation problems ; volume 5 of Mathematics and its Applications - . D. Reidel Publishing Co., Dordrecht (1981).
-
(3) - DEKKER (K.), VERWER (J.G.) - Stability of Runge-Kutta methods for stiff nonlinear differential equations, volume 2 of CWI Monographs - . North-Holland Publishing Co., Amsterdam (1984).
-
(4) - AIKEN (R.C.), éd - Stiff computation - . Oxford University Press, New York (1985).
-
(5) - HAIRER (E.), WANNER (G.) - Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems - . Springer Series in Computational Mathematics 14. Springer-Verlag, Berlin, 2e édition (1996).
-
(6) - HUNDSDORFER (W.), VERWER...
Pour la résolution des équations différentielles raides, il existe d'excellents programmes du domaine public qui peuvent être téléchargés sur internet.
n http://www.unige.ch/~hairer/software.html
RADAU5 est basé sur une méthode de Runge-Kutta implicite (Radau IIA, § 2.1.1) d'ordre 5.
RADAU est une version avec ordre variable (ordres 5, 9, et 13).
SEULEX est la méthode d'extrapolation basée sur la méthode d'Euler linéairement implicite, discutée au paragraphe 2.3.
ROCK est une méthode de Runge-Kutta explicite avec un grand intervalle de stabilité (§ 3.1.2).
n http://www.netlib.org/ode/index.html
DASSL est un programme célèbre de L. Petzold basé sur les méthodes BDF .
RKC est la méthode explicite discutée dans le paragraphe 3.1.1.
n https://www.l3harrisgeospatial.com/docs/lsode.html
LSODE est une programmation des méthodes multipas BDF.
n http://www.zib.de/Numerik/numsoft/CodeLib/ivpode.en.html
EULSIM est la méthode d'extrapolation basée sur la méthode d'Euler linéairement implicite, discutée au paragraphe 2.3.
LIMEX est une extension aux problèmes différentiels-algébriques.
n http://www.ma.ic.ac.uk/~jcash/IVP_software/readme.html
MEBDF est synonyme de « Modified...
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