Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Dans le cadre des problèmes inverses en diffusion thermique, la question de la construction d’un modèle adapté, ici la solution d’une des formes de l’équation de la chaleur, est présentée. Plusieurs exemples permettent l’introduction des concepts d’entrée, de sortie et de paramètres structurels d’un modèle. Les principes physiques des techniques de mesure de température, avec ou sans contact, ainsi que les lois d’étalonnage correspondantes sont détaillés, en intégrant les notions de bruit de mesure et d’échantillonnage du signal issu du capteur. La sensibilité de la sortie d’un modèle à ses paramètres structurels ou à son entrée paramétrisée constitue ici la base de l’approche inverse.
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The question of construction of an appropriate model, here the solution of one of the forms of the heat equation, is tackled within the framework of inverse problems in heat diffusion. Several examples are used for introducing the notions of input, output and structural parameters of a model. The physical principles of the techniques of temperature measurement, with or without contact, as well as the corresponding calibration laws, are detailed, taking into account the notions of measurement noise and of sampling of the sensor signal. The sensitivity of the model output to its structural parameters or to its parameterized input is the basis of the inverse approach.
Auteur(s)
-
Denis MAILLET : Professeur émérite, Université de Lorraine (UL) - Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) – CNRS et UL
-
Yvon JARNY : Professeur émérite, Université de Nantes - Laboratoire de Thermique et Énergie de Nantes (LTeN) – UMR CNRS 6607 Nantes
-
Daniel PETIT : Professeur émérite, École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ISAE-ENSMA) - Institut P’ UPR CNRS 3346 Département Fluides, Thermique, Combustion – Poitiers
INTRODUCTION
Cet article est le premier d’une série de trois articles ([BE 8 265], [BE 8 266] et [BE 8 267]). Il est destiné à introduire la notion de modèle, relatif à la résolution d’un problème dit « direct », en conduction thermique où l’équation de la chaleur permet de déduire les températures à partir d’une source, un flux thermique excitateur, par exemple. Ce modèle permet ensuite, grâce à la prise en compte de mesure(s) de température, d’alimenter la démarche dite « inverse » visant, par exemple, à remonter au flux thermique. Les différents types de modèles, ainsi que les grandeurs utilisées, sont d’abord présentés, en optant pour une approche largement répandue en dynamique des systèmes, et qui lie entrée(s) et sortie(s). Les techniques d’instrumentation actuellement disponibles pour mesurer la température sont ensuite passées en revue, en insistant sur le principe de mesure, la loi d’étalonnage et les caractéristiques stochastiques du bruit sur le signal. La notion de sensibilité, qui découle directement du modèle adopté, est enfin abordée : elle constitue un outil incontournable pour assurer, par la suite, la réussite d’une inversion.
Nous attirons l’attention du lecteur sur le fait qu’actuellement, seule la version pdf de ce dossier permet une notation pertinente, la version électronique ne permettant pas toujours de faire la distinction entre les différentes graisses des symboles.
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KEYWORDS
temperature | thermal conduction | heat equation | inverse problems | sensitivity
VERSIONS
- Version archivée 1 de oct. 2010 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
DOI (Digital Object Identifier)
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Mesures de température et problème inverse d’étalonnage
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2. Équation de la chaleur : quel modèle utiliser ?
2.1 Exemple 1 : mur semi-infini en régime transitoire 1D
La figure 1 représente un massif semi-infini dans la direction x qui est excité sur sa face x = 0 par un flux de chaleur de densité u (W · m–2) à l’instant initial t = 0. La température initiale T 0(x) est a priori non uniforme. Un capteur de température est implanté à une profondeur x c dans le massif et délivre un signal y. À partir de l’instant initial, un champ de température unidimensionnel transitoire T (x, t) se développe dans le massif.
Ce champ de température, que l’on appelle aussi ici « état » du système, est solution de l’équation de la chaleur, qui est ici une équation aux dérivées partielles, ainsi que de ses conditions limites et initiale associées. Ces équations sont appelées « équations d’état » de ce système thermique. Elles font intervenir la conductivité thermique λ (W · m–1 · K–1) du massif, ainsi que sa diffusivité thermique a = λ/ρc (m2 · s–1), où ρ et c sont respectivement sa masse volumique (kg · m–3) et sa capacité thermique massique (J · kg–1 · K–1). Le signal théorique du capteur y mo (réponse du modèle), suite à l’excitation u du massif, ici la densité de flux (W · m–2) entrant dans ce dernier, est alors donné par l’équation de sortie suivante :
( 1 )
Les équations d’état constituent ici une représentation interne du problème direct qui permet de calculer la réponse du système à partir de l’excitation, puis la réponse du capteur est particularisée par l’équation de sortie.
Ici, il est possible de résoudre analytiquement les équations...
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Équation de la chaleur : quel modèle utiliser ?
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - SHUMAKOV (N.V.) - A method for the experimental study of the process of heating a solid body. - Soviet Physics-Technical Physics (Translated by the American Institute of Physics), 2, p. 771 (1957).
-
(2) - BECK (J.V.), BLACKWELL (B.), ST-CLAIR (Jr.C.R.) - Inverse heat conduction – Ill – Posed problems. - Épuisé, mais des copies reliées spirales peuvent être distribuées directement par BECK (J.V.), Wiley, New York, 308 p. (1985).
-
(3) - BECK (J.V.), COLE (K.D.), HAJI-SHEIKH (A.), LITKOUHI (B.) - Heat conduction using green’s functions. - Hemisphere, London (1992).
-
(4) - OZISIK (M.N.) - Heat conduction. - 2nd edition, Wiley, Chichester (1993).
-
(5) - MAILLET (D.), HOULBERT (A.S.), DIDIERJEAN (S.), LAMINE (A.S.), DEGIOVANNI (A.) - Nondestructive thermal evaluation of delaminations inside a laminate – Part I : Identification using the measurement of a thermal contrast – Part II : The experimental Laplace transforms method. - ...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Logiciel INVLAP d’inversion numérique de la transformation de Laplace par l’algorithme de De Hoog http://www.cambridge.org/us/
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Société française de thermique (voir les actes des écoles Metti 5-2011 et Metti 6-2015) http://www.sft.asso.fr
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