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Calcul du champ électromagnétique en basses fréquences - Modèles numériques par éléments finis

Comme tout système physique, l’étude de dispositifs électrotechniques nécessite généralement l’utilisation d’un modèle mathématique. Il est souvent obtenu sur la base de considérations physiques et d’hypothèses simplificatrices sur les formes géométriques, sur le comportement des matériaux, etc. Ce modèle, image approchée de la réalité, est en général basé sur des équations dont la complexité et le nombre peuvent être très variables. Ces équations relient des grandeurs qui peuvent être locales comme des champs de vecteurs ou globales comme des tensions ou des courants.

Concernant les systèmes électrotechniques, leur comportement peut être tout d’abord représenté par des circuits électriques équivalents. Les paramètres de ces circuits ont en général une signification physique et sont souvent liés à des grandeurs globales comme le flux ou le courant dans les bobinages. Même si pour les circuits les plus complexes une résolution analytique est souvent difficile, la résolution numérique des équations ne pose en général pas de problèmes majeurs et conduit très rapidement à une solution approchée avec une très grande précision. Bien que cette dernière diffère de la solution du modèle mathématique, il n’en reste pas moins qu’elle en est, en général, très proche. Ces modèles simples, rapides et numériquement robustes, facilitent grandement l’étude de systèmes.

Néanmoins, un nombre d’équations réduit est souvent obtenu au prix d’hypothèses simplificatrices contraignantes qui, pour certaines applications, ne peuvent être acceptables. Par exemple, pour les modèles basés sur des schémas équivalents des machines tournantes, on effectue souvent l’hypothèse d’une répartition sinusoïdale de l’induction dans l’entrefer. Cette hypothèse conduit alors à des modèles qui ne permettent pas de quantifier précisément les ondulations de couple ou les efforts locaux. Or, pour les applications où la discrétion vibratoire est un critère important, la prise en compte de ce genre de phénomène est indispensable. Par ailleurs, l’identification précise de certains paramètres du modèle (comme par exemple les inductances de fuites ou les réluctances d’entrefer) est souvent pratiquement impossible à partir de la géométrie du système (dimensions, agencement des différentes parties mécaniques) et des caractéristiques physiques des matériaux utilisés. Il faut donc soit avoir accès au système lui-même, l’identification est alors effectuée à partir de relevés expérimentaux ou bien on a recours à un modèle plus fin nécessitant comme paramètres d’entrée la géométrie et les caractéristiques des matériaux. Dans ce contexte, si l'on souhaite étudier, améliorer ou concevoir plus en détail un système électrotechnique complexe, l’utilisation d’un modèle numérique basé sur le calcul des champs électromagnétiques s’impose. Celui-ci s’appuie sur la résolution numérique des équations de Maxwell (cf. encadré). Ces équations sont définies sur une partie de l’espace, appelée domaine d’étude. Il convient de le préciser et de définir des conditions aux limites à vérifier par les champs sur ses frontières. Ces équations associées aux conditions aux limites étant posées, il est nécessaire d’ajouter, pour que le modèle soit complet, une relation qui permet de prendre en compte le comportement des matériaux composant le système étudié.

La résolution analytique du modèle mathématique ainsi défini est souvent impossible. La solution analytique n’est accessible que dans des cas très simples. On a alors recours à une méthode de discrétisation de ces équations qui consiste à rechercher une solution dans un espace de dimension finie. Ce dernier doit être choisi de manière à limiter les erreurs de discrétisation. On aboutit alors un modèle numérique qui génère un système matriciel souvent de grande taille que l’on construit et résout à l’aide d’un calculateur. Mais ici, la complexité du modèle est plus importante que celle que l’on rencontre avec les schémas électriques équivalents.

Dans ce dossier, nous nous proposons de présenter la démarche de construction d’un modèle numérique en utilisant la méthode des éléments finis en électromagnétisme basse fréquence. Nous présentons tout d’abord les différents modèles mathématiques statiques et dynamiques qui sont employés dans le domaine de l’électrotechnique. On introduit ensuite, la discrétisation des équations avec la méthode des éléments finis qui conduit à la construction d’un système matriciel qu’il convient alors de résoudre. Les méthodes de résolution de ce type de système sont alors présentées. Puis, on donne quelques développements complémentaires concernant l’exploitation des résultats pour le calcul des grandeurs globales, la prise en compte de pièces en mouvement ou l’estimation des erreurs numériques. Comme exemples d'application, nous proposons l'étude de trois systèmes en électrocinétique, magnétostatique et magnétodynamique.