Équation d’ondes
Bases de l’électromagnétisme

Les phénomènes électromagnétiques ont été longtemps négligés voire ignorés. La raison est due au fait que les systèmes ont longtemps opéré à des fréquences relativement basses pour lesquelles la longueur d’onde était bien plus grande que leurs dimensions. C’est donc tout d’abord dans le domaine des machines électriques que l’on s’est mis à chercher le moyen de résoudre les équations de type Laplace ou de Poisson qui régissent les champs en électrostatique et magnétostatique. Ces équations sont les formes statiques de l’équation d’ondes et permettent de déterminer les champs (ou plus généralement les potentiels associés) dans les structures puis d’en déduire les distributions de charges ou de courants. En ce qui concerne les circuits, les lemmes de Kirchhoff ont depuis longtemps été introduits dans des logiciels sophistiqués qui permettent de résoudre des circuits d’une grande complexité. Dans ce cas, les éléments sont localisés et il n’est nul besoin pour l’ingénieur de connaître les phénomènes liés à l’électromagnétisme pour concevoir le schéma du circuit et ensuite l’analyser et prédire ses performances. Les phénomènes de rayonnement et couplage étaient plutôt le problème des ingénieurs s’occupant des antennes ou de la propagation des ondes dans divers milieux ou structures.

Pourtant, les concepteurs de dispositifs ont été très vite confrontés à des problèmes liés à deux contraintes. L’augmentation des débits numériques et des fréquences opérationnelles et la miniaturisation des dispositifs pour en réduire leur encombrement et leur poids. C’est alors qu’apparaissent les premiers symptômes remettant en question les modèles traditionnels pour la conception des circuits. Les éléments non seulement ne sont plus des inductances, capacités ou résistances pures mais les interconnexions deviennent des lignes de transmission qui introduisent des retards, des pertes et de la dispersion (distorsion des signaux). De plus, les couplages entre lignes et/ou éléments sont à prendre en compte pour éviter des prédictions de performances erronées. Finalement, les signaux qui se propagent dans les dispositifs ne sont plus assimilables à une tension (ou un courant) localisée, communément utilisée en circuit, mais plutôt à des ondes dont la théorie des lignes constitue une première approximation. D’une manière plus générale, la présence de discontinuités favorise la génération de modes supérieurs qui provoquent des réflexions et un rayonnement dans le cas de structures ouvertes. Tous ces phénomènes doivent être pris en compte plus ou moins rigoureusement dans de nombreux domaines du génie électrique :

• caractérisation de guides (situations pour lesquelles le concept de lignes doit être abandonné) ;

• caractérisation de discontinuités (aussi la prise en compte de l'effet de répartition des éléments localisés) ;

• couplage en champs proches, interférences électromagnétiques et CEM (compatibilité électromagnétique) ;

• évaluation du rayonnement, antennes, SER (surface équivalente radar) ;

• propagation (réseaux radios intra-muraux ou non).

Cette liste est loin d’être exhaustive et d’autres applications pourraient être mentionnées comme la diffusion par des objets soumis à un rayonnement, imagerie d’objets (problème inverse), optique, caractérisation des matériaux, applications industrielles et biomédicales des ondes.

Ce constat nous fait prendre conscience de l’importance de l’électromagnétisme. Dans toutes les applications mentionnées, une solution réside tout d’abord dans la résolution des équations régissant le champ électromagnétique dont la forme fondamentale a été proposée par Maxwell en 1865. Si celui-ci a eu le génie d’assembler sous la forme d’équations les phénomènes observés expérimentalement, il ne nous a malheureusement pas donné la recette pour les résoudre. Alors que l’activité consistant à essayer de résoudre ces équations a longtemps paru comme un exercice purement académique, elle est devenue un exercice de plus en plus incontournable pour l’analyse et la conception de beaucoup de dispositifs, ce qui est devenu possible avec le développement de méthodes numériques et l’évolution de la puissance des calculateurs. Cependant, l’exigence en termes de coût de calcul est encore prohibitive pour beaucoup de cas. Malgré un doublement des performances des calculateurs tous les six mois durant ces dernières années, la complexité des problèmes croît au même rythme. C’est pourquoi, il existe toujours une intense activité de recherche autour du calcul électromagnétique pour augmenter les performances des modèles.