Les différentes méthodes numériques, sur lesquelles les moteurs des outils de simulation les plus utilisés sont basés, sont brièvement introduites. Les propriétés et caractéristiques sont discutées ainsi que leurs limitations. Toutes ont pour objectif principal la recherche de solutions des équations de Maxwell. Les différentes formulations et méthodes numériques associées, qui font la spécificité des logiciels de simulation, possèdent pour autant avantages et inconvénients. Leurs importances dépendent du problème à résoudre en termes de géométrie, matériaux, fréquences et paramètres recherchés.
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Michel NEY
: Professeur à l'Institut Mines-Télécom, TELECOM Bretagne à Brest
INTRODUCTION
Avec l'augmentation de la complexité des circuits en hyperfréquences et en ondes millimétriques et dans tous les dispositifs électroniques en général, il est devenu nécessaire pour les ingénieurs de conception de prédire le comportement de ces systèmes avec des outils de simulation utilisant des modèles rigoureux. Ces derniers sont basés sur les équations qui régissent le champ électromagnétique et qui ont été établies par Maxwell au XIXe siècle. La préoccupation a longtemps porté sur la recherche de solutions de ces équations en présence de géométries quelconques. Si certaines méthodes numériques étaient connues depuis longtemps, leur utilisation était très vite limitée par les faibles moyens de calcul qui existaient alors. Avec le développement rapide des ordinateurs, ces méthodes ainsi que de nouvelles approches ont reçu beaucoup d'attention. Leur développement permet maintenant la résolution de problèmes où la géométrie et les milieux peuvent être quasi arbitraires avec, cependant, des limitations.
Les outils numériques de calcul électromagnétique sont l'élément indispensable à la conception de dispositifs. En effet, ils sont capables de prendre en compte tous les effets de couplage et rayonnement électromagnétique, du moins de façon la plus rigoureuse possible, effets qui ne sont généralement pas négligeables en électrodynamique. Par conséquent, ils doivent intervenir dans la boucle d'une procédure d'optimisation débouchant sur une solution optimale d'un dispositif. Cependant, les ordinateurs ont une puissance de calcul limitée et le coût de calcul croît de façon rapide avec la taille électrique des structures étudiées. Il est encore difficile d'inclure l'analyse électromagnétique directement dans la procédure de conception assistée par ordinateur (CAO). Certes, nous vivons une croissance rapide de la puissance de calcul des ordinateurs qui pour l'instant double environ tous les dix-huit mois. Malheureusement, cette croissance est toujours compensée par l'augmentation de la complexité des systèmes à étudier. On notera que ce constat favorise l'activité de recherche sur l'amélioration de l'efficacité des méthodes de modélisation numérique.
Il serait ambitieux d'établir un survol critique de toutes les méthodes existantes et d'émettre un classement suivant leurs avantages et inconvénients. Nous nous limiterons donc à mentionner les méthodes principales, qui sont le moteur des logiciels commerciaux et de laboratoires les plus connus pour l'analyse électromagnétique des dispositifs. Nous pourrions nous demander pourquoi il est nécessaire d'étudier plusieurs méthodes alors que toutes recherchent le même objectif, c'est-à-dire la résolution des équations de Maxwell. En fait, il se trouve que souvent les équations de Maxwell sont d'abord manipulées pour déboucher sur une équation mieux adaptée au type de problème. Cette étape importante s'appelle la formulation du problème. Ensuite, cette équation est résolue par l'application d'une méthode numérique qui n'est rien d'autre qu'une application de l'analyse numérique. Par conséquent, les avantages d'une méthode par rapport à d'autres dépendent beaucoup du type de problème à résoudre. Principalement, la complexité de la géométrie, les effets non linéaires, la dispersion (dépendance des paramètres avec la fréquence), l'anisotropie, la taille de la structure relativement à la longueur d'onde sont des critères qui vont influer sur son choix. De plus, l'excitation et la grandeur ou le paramètre désiré (distribution des champs ou de courant, rayonnement lointain, fréquence de coupure de guides, etc.) sont aussi des facteurs importants. Par conséquent, la réussite dans la recherche de « la méthode championne » est aussi hypothétique que celle dans la quête du Graal et les classements que l'on pourrait lire dans certains articles relèvent plutôt d'une argumentation de type publicitaire.
Ce dossier s'articule avec d'autres articles du même thème :
Bases de l'électromagnétisme [E1 020] ;
Structures de guidage HF – Modélisation et calculs [E1 171] ;
Simulation électromagnétique – Modèles et optimisation [E1 031].
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Une fois la formulation d'un problème choisie, l'équation obtenue correspond à deux types de problème.
Un problème déterministe, qui s'écrit de façon générique :
( 10 )
avec :
+
:
opérateur réel ou complexe (• indique l'opération sur f) que nous supposerons linéaire – voir nota (intégral, différentiel, intégro-différentiel, etc.),
f
:
fonction inconnue (composante de champ, potentiel, charges, courant, etc.),
g
:
excitation ou source qui est connue (champs appliqués, tension, courant, etc.) ;
Un problème aux valeurs propres, qui peut s'écrire de façon générique :
( 11 )
avec :
}
:
autre opérateur linéaire réel ou complexe,
λ
:
valeur propre associée à une solution propre du problème.
Une illustration typique de ce dernier problème est l'étude d'une cavité hyperfréquence pour laquelle on recherche les fréquences de résonance et pour chacune la distribution des champs des modes associés.
Nota
la majeure partie des méthodes fait appel au principe de superposition. Cela exclut les opérateurs non linéaires. Cependant, dans le cadre des opérateurs différentiels temporels approchés par différences finies, une solution est possible sans utiliser la superposition.
Une remarque intéressante concerne la signification physique des deux types de problèmes ci-dessus : Celui...
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(1) -
MIKHLIN (S.G.) -
Variational methods in mathematical physics.
-
Macmillan, New York (1964).
(2) -
HARRINGTON (R.F.) -
Field computation by moment method
-
. Macmillan, New York (1968).
(3) -
BREBBIA (C.A.) -
Boundary element techniques : Theory and applications in Engineering
-
. Springer-Verlag, New York (1984).
(4) -
SILVESTER (P.P.), FERRARI (R.L.) -
Finite elements for electrical engineers.
-
Cambridge University Press, New York (1983).
(5) -
WEXLER (A.) -
Solution of waveguide discontinuities by modal analysis
-
. IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech., vol. MTT-15, no 9, p. 508-517 (1967).
(6) -
JANSEN (R.H.) -
The spectral-domain approach for microwave integrated circuits.
-
IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech., vol. MTT-33, no 10, p. 1043-1056...
Quelques ouvrages donnant un survol détaillé sur l'ensemble des méthodes ont été publiés. Ils sont généralement spécialisés dans un groupe de méthodes. On peut cependant noter trois ouvrages qui regroupent de nombreuses méthodes sauf les approches asymptotiques :
Numerical Methods for Passive Microwave and Millimeter Wave Structures, Edited by (R.) SORRENTINO, IEEE Press, 1989 ;
Numerical Techniques For Microwave And Millimeter-Wave Passive Structures, Edited by (T.) ITOH, John Wiley, 1989.
Deux autres ouvrages décrivent succinctement les méthodes de simulation mais soulignent plus leurs applications :
Microwave Circuit Modeling using Electromagnetic Field Simulation, Edited by Daniel (G.) SWANSON Jr. and Wolfgang (J.R.) HOEFER, ARTECH HOUSE Inc, 685 Canton St., Norwood, MA-2003 – 469 p, ISBN 1-58053-308-6 ;
Waveguide components for Antenna Feed Systems : Theory and CAD, Edited by (J.) UHER, (J.) BORNEMAN and (U.) ROSENBERG, ARTECH HOUSE Inc, 685 Canton St., Norwood, 1993, ISBN 0-89006-582-9.
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