Filtrage linéaire
Traitement numérique du signal - Signaux déterministes

Le mot signal fait référence à une série d'observations indexée par une suite ordonnée de valeurs réelles ou entières, le plus souvent le temps. Lorsque l'index est dans (R) on parle de signal à temps continu ou signal analogique. S'il est dans (N) ou (Z) on parle de signal à temps discret ou numérique.

Le traitement numérique du signal, en abrégé TNS, consiste à traiter des signaux à temps discret. L'émergence du TNS est liée, comme pour de nombreux autres domaines, au développement de moyens de calcul puissants qui ont permis d'ouvrir son champ d'applications à des problèmes de plus en plus complexes. Il suffit pour s'en convaincre de regarder les applications « grand public » telles que la « télévision haute définition », la « radio-diffusion numérique », la « téléphonie mobile », les « applications multimédias », etc. Tous ces services utilisent largement le traitement numérique du signal en mettant en œuvre des algorithmes nécessitant parfois des puissances de calcul considérables. Pour se limiter à quelques exemples, on peut citer pêle-mêle :

• la suppression du bruit de fond lors d'une transmission téléphonique à partir de l'habitacle d'une voiture ;

• le traitement du signal reçu en téléphonie mobile ;

• le codage de l'image et de la parole dans un système de visiophonie ;

• la reconnaissance et la synthèse de la parole ;

• la détection de défauts dans une pièce mécanique et la maintenance préventive ;

• la localisation par sonar des bancs de poissons ;

• l'évaluation par radar des position et vitesse d'une cible ;

• l'inversion de profil sismique pour la recherche pétrolière ;

• l'analyse des vibrations d'une plate-forme pétrolière ;

• l'analyse des signaux électroencéphalographiques pour l'aide au diagnostic médical ;

• la réception d'informations délivrées par le système GPS de navigation par satellites ;

• la synthèse électronique de sons musicaux ;

• le traitement de signaux acoustiques provenant de plusieurs microphones, etc.

Certains de ces thèmes n'ont pas de solution satisfaisante et font encore l'objet de recherches. Au-delà de la complexité des problèmes qu'il permet d'aborder, le TNS autorise une grande souplesse dans la phase de mise au point . Les tests sont parfaitement reproductibles. On ne risque pas une dérive dans les caractéristiques des composants comme cela se passe dans les traitements analogiques. Est-ce à dire que ces derniers sont irrémédiablement condamnés ? En fait, même si leur part est en constante régression, ils ne risquent pas de disparaître. Dans certains cas on ne peut s'en passer car les phénomènes observés sont trop rapides et, dans d'autres, ils s'imposent en raison de la simplicité même du traitement à effectuer. Ainsi, si un filtrage passe-bas de type « RC » suffit, un traitement numérique paraît quelque peu « luxueux » pour s'y substituer.

Le traitement des images s'apparente au traitement du signal. Le mot « image » fait référence à une suite d'observations indexée par deux valeurs qui représentent généralement la position d'un point dans une image. L'observation peut être scalaire – niveau de gris – ou multi-dimensionnelle – composantes rouge-vert-bleu, cyan-magenta-jaune-noir, etc. Bien que certaines notions soient communes au TNS et au traitement d'images, leurs spécificités respectives font qu'ils sont le plus souvent exposés ou enseignés séparément. Nous ne parlerons donc pas ici du traitement numérique des images.

Après avoir introduit l'échantillonnage dans le paragraphe 1, nous présenterons les principales propriétés temporelles et spectrales des signaux déterministes à temps discret dans le paragraphe 2. Nous y étudierons en particulier la transformée de Fourier discrète qui est l'un des outils de base du TNS. Le paragraphe 3 sera consacré aux propriétés des filtres linéaires, en particulier ceux décrits par une équation récurrente, et à une brève introduction aux méthodes de synthèse de filtres.

Dans ce qui suit de nombreuses propriétés sont énoncées sans donner les hypothèses de leur validité. Notre seule excuse est que, dans la majorité des cas rencontrés en pratique, ces hypothèses sont satisfaites. Les plus curieux pourront amplement se documenter en consultant l'abondante littérature existant dans le domaine.