Bibliographie & annexes
Présentation
Auteur(s)
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Denis MAILLET : Professeur à l'Institut national polytechnique de Lorraine (INPL) - Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée (LEMTA) – CNRS et Nancy-Université
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Yvon JARNY : Professeur à l'École polytechnique de l'université de Nantes - Laboratoire de thermocinétique – UMR CNRS 6607 Nantes
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Daniel PETIT : Professeur à l'École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique (ENSMA) - Institut P′ – CNRS UPR 3346, département fluides, thermique, combustion – Poitiers
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Nous avons abordé dans le dossier [BE 8 265] le problème de la construction d'un modèle et celui de l'étude des sensibilités qui en découle, c'est-à-dire que nous avons mis en forme le problème direct.
Dans ce dossier, nous voyons comment on résout un problème inverse en se ramenant à un problème d'optimisation. Pour cela, une fonction objet (appelée également critère), relative à l'écart entre modèle et mesure et dépendant des paramètres inconnus est introduite. L'estimation des paramètres consiste alors à adopter, pour solutions, les valeurs qui minimisent cette fonction. Notons que, dans la pratique, cette minimisation doit rester compatible avec le niveau du bruit de mesure des capteurs utilisés.
On analyse ici la mise en forme mathématique de ce problème de minimisation qui constitue la base de la démarche inverse. Les inversions de mesures proprement dites, prenant en compte les difficultés liées à la mesure réelle (rapport signal/bruit, mauvaises sensibilités...) sont traitées dans le dossier [BE 8 267].
Par ailleurs, en s'appuyant sur les propriétés stochastiques du bruit, les écarts-types relatifs des paramètres estimés peuvent également être calculés. Les méthodes sont différentes suivant que le modèle est linéaire ou non par rapport aux paramètres à estimer.
Les symboles et notations de ce dossier sont donnés dans le tableau 1 de [BE 8 265]. Notons que seule la version pdf de ce dossier permet une notation complètement pertinente, la version électronique ne permettant pas de mettre en évidence des différences de graisse.
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VERSIONS
- Version courante de juil. 2018 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
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Quelques exemples de problèmes inverses mal posés3. Inversion de mesures avec un modèle non linéaire
On a vu que, dans le cas du modèle linéaire, la résolution du problème d'optimisation est obtenue simplement par la relation (8) et que le caractère éventuellement mal posé, découle des caractéristiques de la matrice d'information ST S.
Dans le cas d'un modèle non linéaire, une difficulté supplémentaire apparaît sur la façon d'obtenir le minimum qui peut devenir très délicate. Cette minimisation s'effectue de façon itérative et le problème de la convergence vers le minimum se pose.
Dans ce paragraphe, on développe les principes généraux des méthodes dites de « descente » et de leur résolution. On explique le principe des méthodes d'ordre un et d'ordre deux et on évoque les méthodes d'ordre zéro.
Il est également montré comment le calcul des sensibilités peut être utilisé avec profit pour calculer le gradient du critère à minimiser, ainsi que pour obtenir une approximation de la matrice Hessienne.
Enfin, nous terminons ce paragraphe par la présentation d'un algorithme efficace en inversion de mesures : l'algorithme de Levenberg-Marquardt.
On rappelle ici les deux types de problèmes inverses que l'on peut traiter :
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l'estimation peut être relative aux paramètres du modèle
![]()
et la boucle itérative porte alors sur le modèle (figure 2) ; -
l'estimation peut être relative au vecteur des entrées, qui ont été paramétrisées au préalable, (x = U ), et la boucle itérative porte alors sur ce vecteur U (figure 3).
et la boucle itérative porte alors sur le modèle (figure Ci-dessous : Principe de l'estimation des paramètres d'un modèle par minimisation d'un critère d'écart. Les itérations portent sur
...
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Inversion de mesures avec un modèle non linéaire
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HADAMARD (J.) - Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations. - Yale University Press, New Haven (1923).
-
(2) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur. - Tome 1 : Méthodes directes et Tome 2 : Méthodes itératives, Masson, Paris (1987).
-
(3) - BECK (J.V.), ARNOLD (K.V.) - Parameter estimation in engineering and science. - Épuisé, mais des copies reliées spirales peuvent être distribuées directement par BECK (J.V.), Wiley, Chichester, 501 p. (1977) [email protected]
-
(4) - MAILLET (D.), ANDRÉ (S.), BATSALE (J.C.), DEGIOVANNI (A.), MOYNE (C.) - Thermal quadrupoles – Solving the heat equation through integral transforms. - Wiley, Chichester, 370 p. (2000).
-
(5) - PRESS (W.H.), FLANNERY (B.P.), TEULKOLSKY (S.A.), WILLIAM (T.), VETTERLING (W.T.) - Numerical recipes – The art of scientific computing. - Cambridge University Press, New York , 992 p. (1992).
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